Théorème 3Classification des revêtements

Existence du revêtement universel

Un revêtement universel de $B$ est un revêtement $p : \tilde B \to B$ dont l'espace $\tilde B$ est simplement connexe. Les notations $X_H$ , $p_H$ sont celles du nœud Construction, et $\xi_0 = [c_{b_0}]_H$ .

Énoncé

(i) Pour $\gamma \in \mathcal C$ et $s \in I$ , soit $\gamma_s(t) = \gamma(st)$ . Le chemin $\hat\gamma : s \mapsto [\gamma_s]_H$ est le relèvement de $\gamma$ issu de $\xi_0$ ; il se termine en $[\gamma]_H$ . L'espace $X_H$ est connexe par arcs et localement connexe par arcs.

(ii) On a $p_{H*}\big({\pi_1}(X_H, \xi_0)\big) = H$ .

(iii) $X_{\{1\}}$ est simplement connexe : $B$ a un revêtement universel. Si $p : \tilde B \to B$ en est un, et si $q : E \to B$ est un revêtement par un espace connexe, pour tous $\tilde b \in p^{-1}(b_0)$ et $e \in q^{-1}(b_0)$ , il existe un unique morphisme de $p$ dans $q$ qui envoie $\tilde b$ sur $e$ . Deux revêtements universels de $B$ sont isomorphes.

(iv) Un espace connexe et localement connexe par arcs a un revêtement universel si et seulement s'il est semi-localement simplement connexe.

Démonstration

(i) Continuité de $\hat\gamma$ . Soient $s_0 \in I$ , $\xi = \hat\gamma(s_0)$ et $U$ un bon ouvert contenant $\gamma(s_0)$ . Par continuité de $\gamma$ , il existe un intervalle $J$ , voisinage de $s_0$ dans $I$ , tel que $\gamma(J) \subset U$ . Pour $s \in J$ , le chemin $\eta(t) = \gamma(s_0 + t(s - s_0))$ reste dans $U$ et va de $\gamma(s_0)$ à $\gamma(s)$ .

Les chemins $\gamma_s$ et $\gamma_{s_0} \cdot \eta$ s'écrivent $\gamma \circ \lambda$ et $\gamma \circ \psi$ , où $\lambda(t) = st$ , et où $\psi$ va de $0$ à $s_0$ sur $[0, \frac12]$ , puis de $s_0$ à $s$ sur $[\frac12, 1]$ , affinement. L'application $K(t, u) = \gamma\big((1 - u)\psi(t) + u\lambda(t)\big)$ est une homotopie de l'un à l'autre : le point $(1 - u)\psi(t) + u\lambda(t)$ reste dans $I$ , comme moyenne pondérée de deux points de $I$ , et vaut $0$ pour $t = 0$ et $s$ pour $t = 1$ .

Donc $\hat\gamma(s) = [\gamma_{s_0} \cdot \eta]_H \in U_\xi$ (Construction, (i)), et sur $J$ , $\hat\gamma = (p_H|_{U_\xi})^{-1} \circ \gamma,$ qui est continue. Ainsi $\hat\gamma$ est continue en chaque point de $I$ .

Relèvement. On a $p_H(\hat\gamma(s)) = \gamma_s(1) = \gamma(s)$ , $\hat\gamma(0) = [c_{b_0}]_H = \xi_0$ et $\hat\gamma(1) = [\gamma]_H$ ; c'est le relèvement issu de $\xi_0$ , par unicité. Tout point $[\gamma]_H$ est donc relié à $\xi_0$ par un chemin, et $X_H$ est connexe par arcs ; il est localement connexe par arcs comme revêtement de $B$ (Connexité locale par arcs, (iii)).

(ii) Pour un lacet $\gamma$ en $b_0$ , son relèvement issu de $\xi_0$ se termine, par (i), en $[\gamma]_H$ , qui est égal à $\xi_0 = [c_{b_0}]_H$ si et seulement si $[\gamma \cdot \bar c_{b_0}] = [\gamma]$ appartient à $H$ . On conclut par le point (ii) du nœud Action sur la fibre.

(iii) Pour $H = \{1\}$ , le morphisme injectif $p_*$ a une image triviale (Action sur la fibre, (ii)) : $\pi_1(X_{\{1\}}, \xi_0)$ est trivial, et $X_{\{1\}}$ est connexe par arcs.

Soit $p : \tilde B \to B$ un revêtement universel. L'espace $\tilde B$ est connexe et localement connexe par arcs, comme revêtement de $B$ , et son sous-groupe est trivial, donc contenu dans celui de $q$ : le morphisme existe et il est unique (Morphismes, (i) et (ii)). Deux revêtements universels ont le même sous-groupe trivial, et ils sont isomorphes par le point (iii) du même nœud.

(iv) La condition est suffisante par (iii), et nécessaire par le point (i) du nœud Semi-locale simple connexité.

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Remarque

Le nom de revêtement universel vient de (iii) : il se projette sur tout revêtement connexe de $B$ . Pour $\mathbb R/\mathbb Z$ , c'est $\mathbb R$ ; pour le tore, $\mathbb R^2$ ; pour $\mathbb RP^n$ avec $n \geqslant 2$ , la sphère $S^n$ (nœuds Revêtements du cercle, Tore, Espaces projectifs).

Remarque

La construction réalise le revêtement universel comme l'espace des chemins issus de $b_0$ , à homotopie près, l'extrémité donnant la projection. Le relèvement d'un chemin $\gamma$ n'est autre que la famille de ses débuts $\gamma_s$ : on remonte $\gamma$ en se souvenant du chemin parcouru, et un lacet se relève en lacet exactement lorsque ce souvenir s'efface, c'est-à-dire lorsque le lacet est homotope au lacet constant.

Remarque

L'idée de la surface de recouvrement universelle remonte à H. A. Schwarz (1882) ; H. Poincaré en reconnut aussitôt la portée et s'en servit pour l'uniformisation des surfaces de Riemann ; H. Weyl, dans Die Idee der Riemannschen Fläche (Teubner, 1913), présente déjà les notions de revêtement, de groupe des transformations du revêtement et de simple connexité (R. Remmert, From Riemann surfaces to complex spaces, Séminaires et Congrès 3, SMF, 1998). Le groupe fondamental lui-même avait été défini par Poincaré dans Analysis situs (J. Éc. Polytech. (2) 1, 1895, p. 1-123).

Repose sur

Construction d'un revêtement par les classes de chemins Morphismes de revêtements

Sert à

Classification des revêtements connexes Le revêtement universel du tore Les espaces projectifs réels