Théorème 4Classification des revêtements

Classification des revêtements connexes

Les hypothèses sur $B$ et $b_0$ sont celles du nœud Construction : $B$ est connexe, localement connexe par arcs et semi-localement simplement connexe. On parle de revêtement connexe pointé $(E, e_0)$ lorsque $E$ est connexe et $e_0$ est au-dessus de $b_0$ ; un tel $E$ est localement connexe par arcs (Connexité locale par arcs, (iii)).

Énoncé

(i) Correspondance. Pour tout sous-groupe $H$ de ${\pi_1}(B, b_0)$ , il existe un revêtement connexe pointé $(E, e_0)$ tel que $p_*(\pi_1(E, e_0)) = H$ , à savoir $(X_H, \xi_0)$ . Deux revêtements connexes pointés sont isomorphes, par un isomorphisme qui respecte les points, si et seulement s'ils ont le même sous-groupe.

(ii) Ordre. Il existe un morphisme de $(E_1, e_1)$ dans $(E_2, e_2)$ si et seulement si $H_1 \subset H_2$ . Le revêtement universel correspond au sous-groupe trivial, et l'identité de $B$ au groupe entier.

(iii) Sans point base. Deux revêtements connexes sont isomorphes si et seulement si leurs sous-groupes sont conjugués. Le nombre de feuillets d'un revêtement connexe est l'indice de son sous-groupe, lorsque l'un des deux est fini ; il est galoisien si et seulement si son sous-groupe est distingué, et son groupe d'automorphismes est alors isomorphe au quotient.

Démonstration

(i) L'existence est le point (ii) du nœud Revêtement universel, l'espace $X_H$ étant connexe par arcs. L'unicité est le point (iii) du nœud Morphismes, qui s'applique puisque les espaces sont connexes et localement connexes par arcs.

(ii) La première affirmation est le point (ii) du nœud Morphismes. Le revêtement universel a un sous-groupe trivial. L'identité de $B$ est un revêtement, dont l'espace $B$ est connexe, et dont le morphisme induit est l'identité de $\pi_1(B, b_0)$ .

(iii) La première affirmation est le point (iii) du nœud Morphismes, la deuxième le point (i) du nœud Fibre et indice, l'espace étant connexe par arcs, la dernière le point (i) du nœud Revêtements galoisiens.

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Remarque

On ne peut pas parler de l'ensemble de tous les revêtements de $B$ : ils ne forment pas un ensemble, puisque l'espace $E$ peut être pris parmi tous les ensembles. L'énoncé (i) dit donc, sans former cet ensemble, que l'application $(E, e_0) \mapsto p_*(\pi_1(E, e_0))$ est « bijective à isomorphisme près » : tout sous-groupe est atteint, et deux revêtements de même sous-groupe sont isomorphes. Les revêtements $X_H$ en sont des représentants explicites, construits sans choix.

Remarque

La correspondance renverse l'ordre de façon familière : plus le sous-groupe est petit, plus le revêtement est « gros ». Un morphisme $X_{H_1} \to X_{H_2}$ pour $H_1 \subset H_2$ est lui-même un revêtement, de fibre en bijection avec $H_1\backslash H_2$ ; on peut voir $X_H$ comme le quotient du revêtement universel par l'action de $H$ par automorphismes. Ces deux affirmations sont admises ici.

Remarque

K. Reidemeister a consacré à ce lien une note, Fundamentalgruppe und Überlagerungsräume (Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Kl., 1928, p. 69-76). L'exposé d'ensemble des revêtements, avec la correspondance entre revêtements et sous-groupes du groupe fondamental, le revêtement universel et les revêtements réguliers, forme le chapitre 8 du Lehrbuch der Topologie de H. Seifert et W. Threlfall (Teubner, 1934, §53 à 58).

Repose sur

Existence du revêtement universel Revêtements galoisiens

Sert à

Les revêtements du cercle Revêtements du bouquet de deux cercles