Revêtements du bouquet de deux cercles

(i) Connexité. $W$ est connexe par arcs (Bouquet de deux cercles, preuve de (ii)), donc connexe.

Hors de $x_0$. Soient $A_1 = S^1 \times \{e\}$ et $A_2 = \{e\} \times S^1$, fermés. L'ensemble $A_1 \setminus \{x_0\} = W \setminus A_2$ est un ouvert de $W$, homéomorphe par la première projection à $S^1 \setminus \{e\}$, lui-même homéomorphe par $p$ à l'intervalle $]0, 1[$ : la restriction de $p$ à $]0, 1[$ est continue, ouverte et injective, d'image $S^1 \setminus \{e\}$. Cet ouvert de $W$ est donc simplement connexe, puisque $]0, 1[$ est convexe (Simple connexité) et qu'un homéomorphisme induit un isomorphisme (Fonctorialité, (i)), et localement connexe par arcs (Connexité locale par arcs, (ii)) ; de même pour $A_2 \setminus \{x_0\}$.

Pour un point $w$ de $A_1 \setminus \{x_0\}$ et un voisinage $V$ de $w$ dans $W$, l'ensemble $V \cap (A_1 \setminus \{x_0\})$ est un voisinage de $w$ dans cet ouvert ; il contient un ouvert connexe par arcs autour de $w$, qui est aussi ouvert dans $W$.

Autour de $x_0$. Pour $0 < \varepsilon \leqslant \frac12$, soit $J_\varepsilon = \,]{-\varepsilon}, \varepsilon[$ et $$N_\varepsilon = W \cap \big(p(J_\varepsilon) \times p(J_\varepsilon)\big),$$ ouvert de $W$, réunion des deux arcs $p(J_\varepsilon) \times \{e\}$ et $\{e\} \times p(J_\varepsilon)$, connexes par arcs comme images de $J_\varepsilon$, qui se rencontrent en $x_0$.

Tout voisinage de $x_0$ dans $W$ contient l'intersection avec $W$ d'un produit d'ouverts $G_1 \times G_2$ de $T$ contenant $(e, e)$ ; les ouverts $p^{-1}(G_1)$ et $p^{-1}(G_2)$ de $\mathbb R$ contiennent des intervalles $J_{\varepsilon_1}$ et $J_{\varepsilon_2}$, et $N_\varepsilon$, pour $\varepsilon = \min(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \frac12)$, est dans le voisinage. Avec l'alinéa précédent, $W$ est localement connexe par arcs.

Lacets. Comme $p(\frac12) \notin p(J_\varepsilon)$, l'ouvert $N_\varepsilon$ ne contient pas les points $q_1$, $q_2$ du nœud Bouquet de deux cercles, et il est contenu dans $U \cap V = W \setminus \{q_1, q_2\}$, simplement connexe puisque $\{x_0\}$ en est un rétracte par déformation (même nœud, et Rétractes par déformation, (ii)). Tout lacet de $N_\varepsilon$ est donc homotope au lacet constant dans $U \cap V$, et dans $W$. Avec les ouverts simplement connexes $A_i \setminus \{x_0\}$, tout point a un voisinage du type voulu.

Conclusion. Le nœud Revêtement universel fournit $\tilde W$, et le nœud Automorphismes, (iv), les deux bijections, avec $\pi_1(W, x_0) \cong F(a, b)$.

(ii) Indice. Pour $g, g' \in F(a, b)$, on a $Kg = Kg'$ si et seulement si $\sigma(g'g^{-1})(1) = 1$, c'est-à-dire $\sigma(g)^{-1}(1) = \sigma(g')^{-1}(1)$. L'application $Kg \mapsto \sigma(g)^{-1}(1)$ est donc bien définie et injective, de $K\backslash F(a, b)$ dans $E$ ; elle est surjective, puisque $\sigma(1)^{-1}(1) = 1$, $\sigma(a)^{-1}(1) = 2$ et $\sigma(ab)^{-1}(1) = \tau_{23}(\tau_{12}(1)) = 3$. L'indice de $K$ est $3$, comme celui de $\Theta(K)$, puisque $\Theta$ est un isomorphisme.

Non distingué. On a $b \in K$, puisque $\tau_{23}$ fixe $1$. Mais $\sigma(a^{-1}ba) = \tau_{12} \circ \tau_{23} \circ \tau_{12}$ envoie $1$ sur $\tau_{12}(\tau_{23}(2)) = \tau_{12}(3) = 3$ : $a^{-1}ba \notin K$, et $K$ n'est pas distingué, ni $\Theta(K)$.

Le revêtement. Par la classification (Classification), $X_{\Theta(K)}$ est un revêtement connexe de sous-groupe $\Theta(K)$, à trois feuillets (Fibre et indice, (i)), et non galoisien (Revêtements galoisiens, (i)).