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Proposition 2Classification des revêtements

La fibre, l'indice et les conjugués

Soit HH un sous-groupe d'un groupe GG. La relation g∼g′  ⟺  g′g−1∈Hg \sim g' \iff g'g^{-1} \in H est une relation d'équivalence sur GG : gg−1=1∈Hgg^{-1} = 1 \in H, l'inverse de g′g−1g'g^{-1} est gg′−1gg'^{-1}, et (g′′g′−1)(g′g−1)=g′′g−1(g''g'^{-1})(g'g^{-1}) = g''g^{-1}. La classe de gg est la classe à droite Hg={hg:h∈H}Hg = \{hg : h \in H\}, puisque g′∼gg' \sim g équivaut à g′=hgg' = hg avec h=g′g−1h = g'g^{-1} ; c'est l'analogue des classes à gauche du nœud Sous-groupe distingué. On note H\GH\backslash G l'ensemble quotient et, pour g∈Gg \in G, g−1Hg={g−1hg:h∈H}g^{-1}Hg = \{g^{-1}hg : h \in H\} le conjugué de HH par gg.

Lorsque H\GH\backslash G est fini, son nombre d'éléments est l'indice de HH dans GG, noté [G:H][G : H].

Énoncé

(i) Supposons EE connexe par arcs, soit e0∈Fe_0 \in F et H=p∗(π1(E,e0))H = p_*({\pi_1}(E, e_0)). L'application H\π1(B,b0)→F,Hg↦e0⋅g,H\backslash \pi_1(B, b_0) \to F, \qquad Hg \mapsto e_0 \cdot g, est bien définie et bijective. En particulier, si la fibre a dd éléments, HH est d'indice dd ; si EE est simplement connexe, g↦e0⋅gg \mapsto e_0 \cdot g est une bijection de π1(B,b0)\pi_1(B, b_0) sur FF.

(ii) Sous les mêmes hypothèses, p∗(π1(E,e0⋅g))=g−1Hgp_*(\pi_1(E, e_0 \cdot g)) = g^{-1}Hg pour tout gg. Les sous-groupes p∗(π1(E,e))p_*(\pi_1(E, e)), pour e∈Fe \in F, sont exactement les conjugués de HH.

(iii) Si α\alpha est un chemin de BB de b0b_0 à b1b_1, l'application e↦α~e(1)e \mapsto \tilde\alpha_e(1) est une bijection de FF sur p−1(b1)p^{-1}(b_1). Lorsque BB est connexe par arcs, toutes les fibres sont donc en bijection ; si elles sont finies, leur nombre commun d'éléments est le nombre de feuillets du revêtement.

Démonstration

(i) L'application est bien définie. Si Hg=Hg′Hg = Hg', on a g′=hgg' = hg avec h∈Hh \in H, et e0⋅h=e0e_0 \cdot h = e_0 (Action sur la fibre, (ii)). Donc e0⋅g′=(e0⋅h)⋅g=e0⋅g.e_0 \cdot g' = (e_0 \cdot h) \cdot g = e_0 \cdot g.

Injectivité. Si e0⋅g=e0⋅g′e_0 \cdot g = e_0 \cdot g', on agit par g−1g^{-1} des deux côtés : e0=e0⋅(g′g−1)e_0 = e_0 \cdot (g'g^{-1}) par le point (i) du même nœud. Donc g′g−1∈Hg'g^{-1} \in H par (ii), et Hg=Hg′Hg = Hg'.

Surjectivité. C'est le point (iii) du même nœud. Si EE est simplement connexe, π1(E,e0)\pi_1(E, e_0) est trivial, HH aussi, et chaque classe HgHg est réduite à {g}\{g\}.

(ii) Pour k∈π1(B,b0)k \in \pi_1(B, b_0), on a (e0⋅g)⋅k=e0⋅g(e_0 \cdot g) \cdot k = e_0 \cdot g si et seulement si e0⋅(gkg−1)=e0e_0 \cdot (gkg^{-1}) = e_0, en agissant par g−1g^{-1}, c'est-à-dire si et seulement si gkg−1∈Hgkg^{-1} \in H, ou encore k∈g−1Hgk \in g^{-1}Hg.

Par le point (ii) du nœud Action sur la fibre, appliqué au point e0⋅ge_0 \cdot g, le premier ensemble est p∗(π1(E,e0⋅g))p_*(\pi_1(E, e_0 \cdot g)). Tout point de FF s'écrit e0⋅ge_0 \cdot g, par (i), et tout conjugué de HH est donc atteint.

(iii) Le chemin inverse de α~e\tilde\alpha_e part de α~e(1)\tilde\alpha_e(1) et relève αˉ\bar\alpha : c'est αˉ~α~e(1)\tilde{\bar\alpha}_{\tilde\alpha_e(1)}, par unicité, et il se termine en ee. L'application e′↦αˉ~e′(1)e' \mapsto \tilde{\bar\alpha}_{e'}(1), de p−1(b1)p^{-1}(b_1) dans FF, est donc une réciproque à gauche ; en échangeant α\alpha et αˉ\bar\alpha, c'en est aussi une à droite.

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Remarque

L'erreur la plus répandue est de parler « du » sous-groupe d'un revêtement sans préciser le point de la fibre. Le point (ii) montre qu'il ne change qu'à conjugaison près, et qu'il n'en est indépendant que si tous ses conjugués lui sont égaux, c'est-à-dire s'il est distingué : c'est la situation des revêtements galoisiens, au nœud Revêtements galoisiens.

Remarque

Pour le revêtement ℝ→ℝ/ℤ\mathbb R \to \mathbb R/\mathbb Z, le point (i) redonne la bijection deg⁡\deg du groupe fondamental du cercle sur la fibre ℤ\mathbb Z : un revêtement par un espace simplement connexe permet de lire le groupe fondamental de la base sur une fibre. Le nœud Automorphismes y ajoutera la loi de groupe.

Repose sur

Action du groupe fondamental sur la fibre

Sert à

Morphismes de revêtements
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