Revêtements galoisiens

(i) (b) ⇔ (c). Par le point (ii) du nœud Fibre et indice, les sous-groupes de (c) sont les conjugués $g^{-1}Hg$, pour $g \in \pi_1(B, b_0)$. Ils sont tous égaux à $H$ si et seulement si $g^{-1}Hg \subset H$ pour tout $g$, puisque l'inclusion pour $g^{-1}$ donne $H \subset g^{-1}Hg$ ; c'est la définition d'un sous-groupe distingué (Sous-groupe distingué).

(a) ⇔ (c). Si $p$ est galoisien, chaque $e \in F$ s'écrit $\varphi(e_0)$, et $p_*(\pi_1(E, e)) = H$ (Automorphismes, (ii)). Réciproquement, sous (c), deux points $e, e'$ de $F$ ont le même sous-groupe, et un isomorphisme envoie $e$ sur $e'$ (Morphismes, (iii)).

(c) ⇔ (d). Par le point (ii) du nœud Action sur la fibre, le relèvement de $\gamma$ issu de $e$ est un lacet si et seulement si $[\gamma] \in p_*(\pi_1(E, e))$. La condition (d) dit que ces sous-groupes ont les mêmes éléments.

Sous ces conditions, le normalisateur $N_G(H)$, où $G = \pi_1(B, b_0)$, est le groupe entier, et le point (iii) du nœud Automorphismes donne l'isomorphisme. L'application $\varphi \mapsto \varphi(e_0)$ est surjective par définition, et injective puisqu'un automorphisme qui coïncide en $e_0$ avec un autre lui est égal.

(ii) L'espace $B = p(E)$ est connexe par arcs, comme image de l'espace connexe par arcs $E$ (Connexité locale par arcs, (i)). Soient $b \in B$ et $\alpha$ un chemin de $b_0$ à $b$ ; l'application $T(e) = \tilde\alpha_e(1)$ est une bijection de $F$ sur $p^{-1}(b)$ (Fibre et indice, (iii)).

Pour un automorphisme $\varphi$, le chemin $\varphi \circ \tilde\alpha_e$ relève $\alpha$ à partir de $\varphi(e)$, d'où $\varphi(T(e)) = T(\varphi(e))$. La transitivité sur $F$ se transporte donc à $p^{-1}(b)$.

L'homéomorphisme. La relation $\sim$ est une relation d'équivalence, puisque les automorphismes forment un groupe. Comme $p \circ \varphi = p$, l'application $p$ est constante sur les classes, et induit $\bar p$, continue (Topologie quotient). Elle est surjective comme $p$, et injective, puisque deux points de la même fibre sont envoyés l'un sur l'autre par un automorphisme.

L'application $p$ est ouverte : pour un ouvert $W$ de $E$ et $e \in W$, soit $U$ un ouvert uniformément couvert contenant $p(e)$, et $S$ le feuillet qui contient $e$. L'ensemble $p(W \cap S)$ est ouvert dans $U$, image d'un ouvert de $S$ par l'homéomorphisme $p|_S$, donc ouvert dans $B$, et il contient $p(e)$. Ainsi $p(W)$ est voisinage de chacun de ses points, donc ouvert (Voisinages).

Pour un ouvert $O$ du quotient, d'image réciproque $W$ par la projection, on a $\bar p(O) = p(W)$, qui est ouvert : $\bar p^{-1}$ est continue.

(iii) Soit $H$ d'indice $2$ dans $G$. Les classes à droite sont $H$ et $G \setminus H$. Soient $g \notin H$ et $h \in H$. Si $g^{-1}hg \notin H$, alors $g^{-1}hg \in Hg$, et $g^{-1}hg = h'g$ avec $h' \in H$ ; il vient $g^{-1} = h'h^{-1} \in H$, puis $g \in H$, ce qui est exclu. Donc $g^{-1}Hg \subset H$ pour tout $g$, et $H$ est distingué.

Un revêtement à deux feuillets a un sous-groupe d'indice $2$ (Fibre et indice, (i)), qui est distingué. Un revêtement simplement connexe a un sous-groupe trivial, qui est distingué.