Proposition 7Structures topologiques

Topologie quotient

Énoncé

Soit $\sim$ une relation d'équivalence sur $X$ et $\pi : X \to X/\!\sim$ la projection. La topologie quotient est formée des parties $V$ de $X/\!\sim$ telles que $\pi^{-1}(V)$ soit ouvert dans $X$ . C'est une topologie, $\pi$ est continue, et une application $f : X/\!\sim \ \to Y$ est continue si et seulement si $f \circ \pi$ l'est.

Démonstration

L'image réciproque par $\pi$ commute aux réunions et aux intersections, ce qui donne les axiomes d'une topologie, et la continuité de $\pi$ est la définition même. Enfin $(f \circ \pi)^{-1}(W) = \pi^{-1}(f^{-1}(W)),$ qui est ouvert dans $X$ si et seulement si $f^{-1}(W)$ est ouvert dans le quotient.

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Remarque

C'est la topologie des recollements : tore, ruban de Möbius, espaces projectifs.

Le tore est le quotient du carré

X

qui identifie les côtés opposés dans le sens des flèches. La réunion des deux demi-disques, ouverte dans

X

et saturée, a pour image un voisinage ouvert du point

\pi(q) = \pi(q')

; de même, les quatre quarts de disque autour des coins, identifiés en un seul point, forment un ouvert saturé. Aucun de ces morceaux, pris seul, n'a une image ouverte.

Elle peut être très pauvre : le quotient de $\mathbb R$ par la relation $x - y \in \mathbb Q$ porte la topologie grossière, car tout ouvert non vide de $\mathbb R$ saturé pour cette relation est $\mathbb R$ tout entier : un tel ouvert contient un intervalle $]a, b[$ avec $a < b$ , donc tous ses translatés $]a + q, b + q[$ , $q \in \mathbb Q$ , qui recouvrent $\mathbb R$ par densité de $\mathbb Q$ .

Repose sur

Continuité Relations, fonctions

Sert à

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