Automorphismes d'un revêtement

(i) Pour $g \in G$, la conjugaison $x \mapsto g^{-1}xg$ est un morphisme bijectif de $G$, de réciproque $x \mapsto gxg^{-1}$. Le neutre est dans $N_G(H)$. Si $g, k \in N_G(H)$, alors $$(gk)^{-1}H(gk) = k^{-1}(g^{-1}Hg)k = H,$$ et $gHg^{-1} = g(g^{-1}Hg)g^{-1} = H$ montre que $g^{-1} \in N_G(H)$.

Pour $h \in H$, on a $h^{-1}Hh \subset H$, et $H = h^{-1}(hHh^{-1})h \subset h^{-1}Hh$ : ainsi $H \subset N_G(H)$. Enfin, pour $g \in N_G(H)$, l'égalité $gHg^{-1} = H$ dit que $ghg^{-1} \in H$ pour tout $h \in H$.

(ii) Un automorphisme qui fixe un point coïncide en ce point avec l'identité, et lui est égal (Morphismes, (i)). La seconde affirmation est le point (iii) du même nœud, appliqué à $(E, e_0)$ et $(E, e)$.

(iii) Pour $g \in N_G(H)$, on a $p_*(\pi_1(E, e_0 \cdot g)) = g^{-1}Hg = H$ (Fibre et indice, (ii)), et (ii) fournit $\varphi_g$. Il est unique : deux automorphismes $\varphi$, $\psi$ qui coïncident en $e_0$ donnent l'automorphisme $\psi^{-1} \circ \varphi$, qui fixe $e_0$.

Morphisme. Par le point (i) du nœud Morphismes et celui du nœud Action sur la fibre, $$\begin{aligned} \varphi_g(\varphi_k(e_0)) &= \varphi_g(e_0 \cdot k) = \varphi_g(e_0) \cdot k \\ &= (e_0 \cdot g) \cdot k = e_0 \cdot (gk), \end{aligned}$$ et donc $\varphi_g \circ \varphi_k = \varphi_{gk}$ par unicité.

Surjectivité. Soit $\varphi$ un automorphisme. L'espace $E$ est connexe par arcs (Connexité locale par arcs, (i)), et $\varphi(e_0) = e_0 \cdot g$ pour un $g \in G$ (Action sur la fibre, (iii)). Par (ii), $p_*(\pi_1(E, e_0 \cdot g)) = H$, et ce sous-groupe vaut aussi $g^{-1}Hg$ : donc $g \in N_G(H)$, et $\varphi = \varphi_g$.

Noyau. On a $\varphi_g = \mathrm{id}$ si et seulement si $e_0 \cdot g = e_0$, c'est-à-dire $g \in H$ (Action sur la fibre, (ii)). Le théorème d'isomorphisme (Théorème d'isomorphisme) conclut.

(iv) Ici $H$ est trivial, $N_G(H) = G$, et la projection de $G$ sur $G/\{1\}$ est un isomorphisme. Pour $e, e' \in F$, les sous-groupes $p_*(\pi_1(E, e))$ et $p_*(\pi_1(E, e'))$ sont triviaux, et (ii), appliqué au point $e$, donne $\varphi$ tel que $\varphi(e) = e'$ ; il est unique, puisque deux automorphismes qui coïncident en $e$ sont égaux.