Proposition 9Classification des revêtements

Le revêtement universel du tore

Soit ${T} = S^1 \times S^1$ et $P : {\mathbb R^2} \to T$ , $P(u, v) = (p(u), p(v))$ , comme au nœud Ouverts du tore.

Énoncé

(ii) Ses automorphismes sont les translations $\tau_{k,l}(u, v) = (u + k, v + l)$ , pour $(k, l) \in \mathbb Z^2$ , et $(k, l) \mapsto \tau_{k,l}$ est un isomorphisme de $\mathbb Z^2$ sur $\operatorname{Aut}(\mathbb R^2/T)$ . Par suite, ${\pi_1}(T) \cong \mathbb Z^2$ .

Démonstration

(i) Soit $(p(x), p(y)) \in T$ , et $J_1 = \,]x - \frac12, x + \frac12[$ , $J_2 = \,]y - \frac12, y + \frac12[$ . L'ouvert $U = p(J_1) \times p(J_2)$ a pour image réciproque la réunion des produits $(J_1 + k) \times (J_2 + l)$ , ouverts et deux à deux disjoints. Sur chacun, $P$ est le produit de deux homéomorphismes sur $p(J_1)$ et $p(J_2)$ (Groupe fondamental du cercle, preuve de (i)), donc un homéomorphisme sur $U$ , de réciproque le produit des réciproques (Topologie produit).

Ainsi $P$ est un revêtement, surjectif comme $p$ . L'espace $\mathbb R^2$ est convexe, donc simplement connexe, et localement connexe par arcs (Connexité locale par arcs, (ii)).

(ii) Chaque $\tau_{k,l}$ est un homéomorphisme tel que $P \circ \tau_{k,l} = P$ , et $\tau_{k,l} \circ \tau_{k',l'} = \tau_{k+k', l+l'}$ . Un automorphisme $\varphi$ envoie $(0, 0)$ dans la fibre $P^{-1}(P(0, 0)) = \mathbb Z^2$ , et coïncide en $(0, 0)$ avec la translation de vecteur $\varphi(0, 0)$ : il lui est égal (Automorphismes, (ii)). La dernière affirmation est le point (iv) du même nœud.

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Remarque

On retrouve le résultat du nœud Tore, obtenu par le théorème de Seifert-van Kampen. Les deux démonstrations n'ont rien en commun : l'une recolle des ouverts, l'autre déroule le tore sur le plan, où chaque lacet se lit par l'extrémité $(m, n)$ de son relèvement issu de $(0, 0)$ , son bidegré.

Remarque

Deux revêtements connexes à deux feuillets du tore ne sont pas isomorphes. Les applications $Q_1(p(u), p(v)) = (p(2u), p(v))$ et $Q_2(p(u), p(v)) = (p(u), p(2v))$ sont des revêtements de $T$ par $T$ . Pour $Q_1$ , avec $U = p(J_1) \times p(J_2)$ comme en (i), l'image réciproque $Q_1^{-1}(U)$ est la réunion des deux ouverts disjoints $p(\frac{J_1 + k}2) \times p(J_2)$ , $k = 0, 1$ : un réel $u$ vérifie $p(2u) \in p(J_1)$ si et seulement si $2u \in J_1 + m$ pour un entier $m$ , c'est-à-dire $u \in \frac{J_1 + k}2 + q$ avec $m = 2q + k$ . Sur chacun, $Q_1$ est le produit de l'identité de $p(J_2)$ et de la composée de la réciproque de $p$ sur $\frac{J_1 + k}2$ , de $u \mapsto 2u$ et de $p$ sur $J_1 + k$ , trois homéomorphismes. De même pour $Q_2$ . Si $(\tilde u, \tilde v)$ est le relèvement par $P$ , issu de $(0, 0)$ , d'un lacet $\gamma$ de bidegré $(m, n)$ , le chemin $s \mapsto (p(\tilde u(s)/2), p(\tilde v(s)))$ relève $\gamma$ par $Q_1$ à partir de $(e, e)$ , et se termine en $(p(\frac m2), e)$ : c'est un lacet si et seulement si $m$ est pair. De même, par $Q_2$ , si et seulement si $n$ est pair.

Leurs sous-groupes sont donc $2\mathbb Z \times \mathbb Z$ et $\mathbb Z \times 2\mathbb Z$ , distincts, et non conjugués puisque $\mathbb Z^2$ est commutatif : par le point (iii) du nœud Morphismes, $Q_1$ et $Q_2$ ne sont pas isomorphes, bien qu'ils aient le même nombre de feuillets.

Repose sur

Existence du revêtement universel Automorphismes d'un revêtement

Sert à

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