Le tore, recollement du carré

(i) $P$ est continue (Topologie produit). L'image d'un produit d'ouverts $O_1 \times O_2$ est $p(O_1) \times p(O_2)$, ouvert puisque $p$ est ouverte ; tout ouvert de $\mathbb R^2$ étant réunion de tels produits, $P$ est ouverte.

Comme $p([0, 1]) = S^1$, on a $P(C) = T$. Un point de $\partial C$ a une coordonnée égale à $0$ ou $1$, d'image $e$, et inversement $(x, e) = P(u, 0)$ si $x = p(u)$ : $P(\partial C) = W$. Deux points de $]0, 1[$ qui diffèrent d'un entier sont égaux, et $p(u) = e$ équivaut à $u \in \mathbb Z$ : $P$ est injective sur $C^\circ$, et $P(C^\circ)$ ne rencontre pas $W$.

Donc $V = T \setminus W$, ouvert comme image de l'ouvert $C^\circ$ ; la restriction de $P$ à $C^\circ$ est une bijection continue et ouverte sur $V$, donc un homéomorphisme.

(ii) Le carré. Pour $z \in C \setminus \{c\}$ et $t \in I$, posons $\rho(z, t) = c + \mu\,(z - c)$, avec $\mu = 1 + t\big(\frac{1}{2\|z - c\|_\infty} - 1\big)$. La fonction $z \mapsto \|z - c\|_\infty$ est lipschitzienne, donc continue, et ne s'annule pas ; $\rho$ est continue (Limite en un point, (iv)).

Comme $\mu$ est compris entre $1$ et $\frac{1}{2\|z - c\|_\infty}$, la quantité $\|\rho(z, t) - c\|_\infty = \mu\,\|z - c\|_\infty$ est comprise entre $\|z - c\|_\infty > 0$ et $\frac12$ : $\rho$ reste dans $C \setminus \{c\}$. De plus $\rho(z, 0) = z$, $\rho(z, 1) = r(z) \in \partial C$, et $\rho(z, t) = z$ si $z \in \partial C$.

Passage au tore. Si $P(z) = P(z')$ avec $z \neq z'$ dans $C$, les deux points sont dans $\partial C$, par (i), et $P(\rho(z, t)) = P(z) = P(z') = P(\rho(z', t))$. De même, $P(z) = q$ n'a lieu que pour $z = c$. La formule de l'énoncé définit donc une application $H : U \times I \to U$, sans aucun choix, comme au nœud Groupe quotient.

Elle est continue. L'application $\Pi : C \times I \to T \times I$, $(z, t) \mapsto (P(z), t)$, est continue, surjective, et fermée, puisque $C \times I$ est compact et $T \times I$ séparé (Parties compactes). Pour un ouvert $O$ de $U$, l'image réciproque par $\Pi$ de $H^{-1}(O)$ est $\{(z, t) : P(\rho(z, t)) \in O\}$, ouverte dans $(C \setminus \{c\}) \times I$, donc dans $C \times I$.

Le complémentaire de cette image réciproque est fermé, et son image par $\Pi$, qui est le complémentaire de $H^{-1}(O)$ dans $T \times I$ puisque $\Pi$ est surjective, est fermée. Ainsi $H^{-1}(O)$ est ouvert.

Enfin $H(x, 0) = x$, $H(x, 1) \in P(\partial C) = W$, et $H(w, t) = w$ pour $w \in W$.

(iii) $V$ est homéomorphe au convexe $C^\circ$, donc simplement connexe. L'ensemble $U \cap V = V \setminus \{q\}$ est l'image par l'homéomorphisme de (i) de $C^\circ \setminus \{c\}$.

Dans $C^\circ \setminus \{c\}$, la formule de $\rho$, où l'on remplace $\frac12$ par $\frac14$, fait de $\partial C'$ un rétracte par déformation : les points restent à une distance de $c$ comprise entre $\|z - c\|_\infty$ et $\frac14$, donc dans $C^\circ \setminus \{c\}$.

Le bord $\partial C'$ est homéomorphe à $S^1$. Posons $L(u, v) = c + (u + v - \frac12, u - v)$ ; avec $w = (u - \frac14, v - \frac14)$, on a $L(u, v) - c = (w_1 + w_2, w_1 - w_2)$, et $$\max(|w_1 + w_2|, |w_1 - w_2|) = |w_1| + |w_2|.$$ L'application affine $L$, injective, envoie donc le losange du nœud Bouquet de deux cercles, où $|w_1| + |w_2| = \frac14$, dans $\partial C'$. Elle l'envoie sur $\partial C'$ : un point $y$ de $\partial C'$, avec $(\alpha, \beta) = y - c$, est l'image du point où $w_1 = \frac{\alpha + \beta}2$ et $w_2 = \frac{\alpha - \beta}2$, qui vérifie $|w_1| + |w_2| = \max(|\alpha|, |\beta|) = \frac14$. Ainsi $L \circ \kappa$ est une bijection continue du compact $S^1$ sur $\partial C'$, donc un homéomorphisme.

Le calcul donne $L(\kappa(p(s))) = \lambda(s)$ pour $s \in I$ : par exemple, pour $s \leqslant \frac14$, $L(s, s + \frac14) = (\frac14 + 2s, \frac14)$. Comme $s \mapsto p(s)$ engendre $\pi_1(S^1, e)$, la classe de $\lambda$ engendre $\pi_1(\partial C', (\frac14, \frac14))$.

Par le nœud Rétractes par déformation, (ii), puis par $P$, la classe de $P \circ \lambda$ engendre $\pi_1(U \cap V, x_0)$, et $U \cap V$ est connexe par arcs.