Lemme 2Théorème de Seifert-van Kampen

Découpage des chemins et des homotopies

Pour des chemins $\gamma_1, \dots, \gamma_m$ tels que $\gamma_k(1) = \gamma_{k+1}(0)$ , le produit équilibré $\gamma_1 \star \cdots \star \gamma_m$ est le chemin qui parcourt $\gamma_k$ sur $[\frac{k - 1}m, \frac km]$ : $(\gamma_1 \star \cdots \star \gamma_m)(s) = \gamma_k(ms - k + 1).$ Il est continu par le recollement (Chemins, (i)), appliqué $m - 1$ fois à des intervalles fermés qui se touchent en un point où les deux formules coïncident.

Énoncé

(i) Pour des chemins, $\gamma_1 \star \cdots \star \gamma_m \simeq (\cdots(\gamma_1 \cdot \gamma_2) \cdots) \cdot \gamma_m$ . En particulier, si les $\gamma_k$ sont des lacets en $x$ , alors $[\gamma_1 \star \cdots \star \gamma_m] = [\gamma_1] \cdots [\gamma_m]$ dans ${\pi_1}(X, x)$ . Pour un chemin $\gamma$ et $m \geqslant 1$ , on a $\gamma = \gamma_1 \star \cdots \star \gamma_m$ , où $\gamma_k(s) = \gamma\big(\frac{k - 1 + s}m\big)$ .

(ii) Découpage. Soit $X = U \cup V$ , avec $U$ et $V$ ouverts. Pour tout chemin $\gamma : I \to X$ , il existe un entier $m_0 \geqslant 1$ tel que, pour tout $m \geqslant m_0$ , chaque $\gamma([\frac{k - 1}m, \frac km])$ soit contenu dans $U$ ou dans $V$ . De même, pour toute application continue $H : I \times I \to X$ , il existe $N_0$ tel que, pour tout $N \geqslant N_0$ , l'image par $H$ de chaque carré $\Big[\frac{i - 1}N, \frac iN\Big] \times \Big[\frac{j - 1}N, \frac jN\Big]$ soit contenue dans $U$ ou dans $V$ .

(iii) Dans une partie convexe $C$ de ${\mathbb R^n}$ , deux chemins de mêmes extrémités sont homotopes.

Démonstration

(i) Par récurrence sur $m$ , le cas $m = 1$ étant clair. Pour $m \geqslant 2$ , notons $A = \gamma_1 \star \cdots \star \gamma_{m-1}$ . On vérifie sur les formules que $A \cdot \gamma_m = (\gamma_1 \star \cdots \star \gamma_m) \circ \varphi,$ où $\varphi$ envoie affinement $[0, \frac12]$ sur $[0, \frac{m - 1}m]$ et $[\frac12, 1]$ sur $[\frac{m - 1}m, 1]$ : pour $s \leqslant \frac12$ , les deux membres valent $\gamma_k(2(m - 1)s - k + 1)$ sur l'intervalle où $2(m - 1)s \in [k - 1, k]$ , et pour $s \geqslant \frac12$ , ils valent $\gamma_m(2s - 1)$ .

Cette fonction $\varphi$ est continue par recollement, croissante, et fixe $0$ et $1$ : par le reparamétrage (Homotopie, (ii)), $A \cdot \gamma_m \simeq \gamma_1 \star \cdots \star \gamma_m$ . Par l'hypothèse de récurrence et le point (iii) du même nœud, $(\cdots(\gamma_1 \cdot \gamma_2) \cdots) \cdot \gamma_m \simeq A \cdot \gamma_m$ . Pour des lacets, la définition de la loi de $\pi_1$ (Groupe fondamental) donne l'égalité des classes. La seconde affirmation se vérifie sur la formule : pour $s \in [\frac{k - 1}m, \frac km]$ , $\gamma_k(ms - k + 1) = \gamma(s)$ .

(ii) On munit $K = I$ , ou $K = I \times I$ , de la distance $d_\infty$ , qui définit sa topologie ; $K$ est fermé et borné, donc compact (L'espace ℝⁿ, (i) et (iii)). Les images réciproques de $U$ et de $V$ forment un recouvrement ouvert de $K$ , qui admet un nombre de Lebesgue $\eta$ (Nombre de Lebesgue).

Soit $m_0$ le plus petit entier $m \geqslant 1$ tel que $\frac1m < \eta$ , qui existe par la propriété d'Archimède (Archimède) et le bon ordre de $\mathbb N$ . Pour $m \geqslant m_0$ , chaque intervalle $[\frac{k - 1}m, \frac km]$ , de diamètre $\frac1m < \eta$ , est contenu dans l'image réciproque de $U$ ou dans celle de $V$ . Le cas des carrés, de diamètre $\frac1N$ pour $d_\infty$ , est identique.

(iii) Si $\alpha$ et $\beta$ vont de $a$ à $b$ dans $C$ , l'application $H(s, t) = (1 - t)\,\alpha(s) + t\,\beta(s)$ est continue (Chemins, (ii)), reste dans $C$ par convexité, vaut $\alpha$ pour $t = 0$ , $\beta$ pour $t = 1$ , et $a$ , $b$ pour $s = 0$ , $s = 1$ .

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Remarque

Le lemme ne fait aucun choix : $\eta$ est le minimum d'une fonction continue, et $m_0$ le plus petit entier qui convient. C'est la même compacité qui a servi à relever les chemins et les homotopies (Relèvement des homotopies) ; on découpe ici en morceaux qui restent chacun dans l'un des deux ouverts, au lieu d'ouverts uniformément couverts.

Remarque

Le produit équilibré évite de parenthéser : la concaténation $\gamma \cdot \delta$ n'est associative qu'à homotopie près, et le point (i) dit que le choix des parenthèses n'importe pas, une fois passé aux classes.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Le groupe fondamental d'une réunion est engendré par ceux des morceaux Lemme du carré, rétractes par déformation