Proposition 4Théorème de Seifert-van Kampen

Lemme du carré, rétractes par déformation

Une partie $A$ d'un espace $X$ est un rétracte par déformation de $X$ s'il existe une application continue $H : X \times I \to X$ telle que, pour tous $x \in X$ , $a \in A$ et $t \in I$ , $\begin{gathered} H(x, 0) = x, \qquad H(x, 1) \in A, \\ H(a, t) = a. \end{gathered}$ On déforme continûment l'espace sur la partie $A$ , sans jamais bouger les points de $A$ .

Énoncé

(i) Lemme du carré. Soit $F : I \times I \to X$ continue, et $b(s) = F(s, 0)$ , $h(s) = F(s, 1)$ , $g(t) = F(0, t)$ , $d(t) = F(1, t)$ . Alors $b \simeq g \cdot h \cdot \bar d$ . En particulier, si $g = d$ , on a $[b] = [g \cdot h \cdot \bar g]$ .

(ii) Si $A$ est un rétracte par déformation de $X$ et $a \in A$ , l'inclusion induit un isomorphisme de ${\pi_1}(A, a)$ sur $\pi_1(X, a)$ . Si de plus $A$ est connexe par arcs, $X$ l'est.

Démonstration

(i) Dans le carré $I \times I$ , les chemins $s \mapsto (s, 0)$ et $\tilde g \cdot \tilde h \cdot \bar{\tilde d}$ , où $\tilde g(t) = (0, t)$ , $\tilde h(s) = (s, 1)$ et $\tilde d(t) = (1, t)$ , vont tous deux de $(0, 0)$ à $(1, 0)$ . Ils sont homotopes, le carré étant convexe (Découpage, (iii)).

En composant cette homotopie avec $F$ , on obtient une homotopie de $b$ à $g \cdot h \cdot \bar d$ , puisque $F \circ \tilde g = g$ , $F \circ \tilde h = h$ et $F \circ \tilde d = d$ .

(ii) Soit $r(x) = H(x, 1)$ , application continue de $X$ dans $A$ (Topologie induite), et $\iota$ l'inclusion. Comme $r \circ \iota = \mathrm{id}_A$ , on a $r_* \circ \iota_* = \mathrm{id}$ , et $\iota_*$ est injectif.

Soit $\gamma$ un lacet de $X$ en $a$ . L'application $G(s, t) = H(\gamma(s), t)$ est continue (Topologie produit), et vérifie $G(s, 0) = \gamma(s)$ , $G(s, 1) = \iota(r(\gamma(s)))$ et $G(0, t) = G(1, t) = H(a, t) = a$ . C'est une homotopie de $\gamma$ à $\iota \circ r \circ \gamma$ , et $[\gamma] = \iota_*([r \circ \gamma])$ : $\iota_*$ est surjectif.

Enfin tout $x \in X$ est relié au point $H(x, 1)$ de $A$ par le chemin $t \mapsto H(x, t)$ .

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Remarque

Un point $\{a\}$ est un rétracte par déformation de toute partie convexe $C$ qui le contient, par $H(x, t) = (1 - t)x + ta$ : on retrouve que les convexes sont simplement connexes. Plus généralement, le point (ii) ramène le calcul d'un groupe fondamental à celui d'une partie plus petite, et c'est ainsi qu'on l'emploiera pour le bouquet et pour le tore.

Remarque

Le lemme du carré dit comment un lacet change lorsqu'on le déforme en laissant bouger son point de base : il est conjugué par le chemin que suit le point de base. C'est le changement de point de base du nœud Fonctorialité, et c'est par lui que le calcul du tore reliera deux points de base différents.

Repose sur

Découpage des chemins et des homotopies

Sert à

Le bouquet de deux cercles a pour groupe fondamental le groupe libre de rang 2