Le bouquet de deux cercles a pour groupe fondamental le groupe libre de rang 2

(i) La fonction $d$ est bien définie, $1$-périodique, puisque $k \mapsto k - 1$ permute $\mathbb Z$, et $1$-lipschitzienne, puisque $|s - k| \leqslant |s' - k| + |s - s'|$ pour tout $k$. Sur $[0, 1]$, on a $d(s) = \min(s, 1 - s)$, car $|s - k| \geqslant s$ pour $k \leqslant 0$ et $|s - k| \geqslant 1 - s$ pour $k \geqslant 1$.

L'application $\tilde\kappa(s) = (d(s), d(s + \frac14))$ est donc continue et $1$-périodique ; elle passe au quotient en $\kappa$, continue (Topologie quotient). Sur les intervalles $[0, \frac14]$, $[\frac14, \frac12]$, $[\frac12, \frac34]$ et $[\frac34, 1[$, elle vaut successivement $$\begin{aligned} &(s, s + \tfrac14), \quad (s, \tfrac34 - s), \\ &(1 - s, \tfrac34 - s), \quad (1 - s, s - \tfrac34). \end{aligned}$$

Elle parcourt ainsi les quatre côtés du losange, qui correspondent aux quatre combinaisons de signes de $u - \frac14$ et $v - \frac14$, et dont la réunion est le losange entier. Sur ces côtés, $u - v$ ou $u + v$ est constant, égal à $-\frac14$, $\frac34$, $\frac14$, $\frac14$, tandis que l'autre quantité varie strictement avec $s$ ; les côtés ne se rencontrent qu'en leurs extrémités communes.

Donc $\tilde\kappa$ est injective sur $[0, 1[$, et $\kappa$ est une bijection de $S^1$ sur le losange, tout réel s'écrivant de façon unique $k + r$ avec $k \in \mathbb Z$ et $r \in [0, 1[$ (Archimède).

Si $p(s) \neq p(s')$, des ouverts disjoints de $\mathbb R^2$ autour de $\kappa(p(s))$ et $\kappa(p(s'))$ ont des images réciproques disjointes et ouvertes : $S^1$ est séparé. Comme $S^1 = p([0, 1])$ et que $[0, 1]$ est compact (Borel-Lebesgue), $S^1$ est compact (Parties compactes, (iii)).

La bijection continue $\kappa$ de $S^1$ sur le losange est alors un homéomorphisme (Bijection d'un compact), et $T$ est compact (Produit fini de compacts).

(ii) Les ouverts. L'espace $T$ est séparé comme produit de deux espaces séparés, par l'argument du nœud Produit fini de compacts ; ses points sont donc fermés. Soient $q_1 = (p(\frac12), e)$, $q_2 = (e, p(\frac12))$, et $$U = W \setminus \{q_2\}, \qquad V = W \setminus \{q_1\},$$ ouverts de $W$ qui le recouvrent, d'intersection $W \setminus \{q_1, q_2\}$, contenant $x_0$.

Rétractions. Soit $J = \,]{-\frac12}, \frac12[$. La restriction de $p$ à $J$ est continue, ouverte, comme on l'a vu en démontrant le point (i) du nœud Groupe fondamental du cercle, et injective, et $p(J) = S^1 \setminus \{p(\frac12)\}$ : c'est un homéomorphisme, de réciproque notée $\sigma$, avec $\sigma(e) = 0$.

Soient $A_1 = S^1 \times \{e\}$ et $A_2 = \{e\} \times S^1$, fermés dans $T$ : le complémentaire de $A_1$ est l'ouvert $S^1 \times (S^1 \setminus \{e\})$. On pose $H((x, e), t) = (x, e)$ sur $A_1 \times I$, et $$H((e, z), t) = \big(e, p((1 - t)\sigma(z))\big)$$ sur $(A_2 \cap U) \times I$. Les deux formules valent $x_0$ en $x_0$, et ces deux parties sont fermées dans $U \times I$ : $H$ est continue par recollement (Chemins, (i)), et fait de $A_1$ un rétracte par déformation de $U$.

De même, $A_2$ est un rétracte par déformation de $V$, et $\{x_0\}$ en est un de $U \cap V$, en contractant les deux arcs par la même formule.

Groupes. L'application $x \mapsto (x, e)$ est un homéomorphisme de $S^1$ sur $A_1$, de réciproque la première projection. Par le nœud Groupe fondamental du cercle, $\pi_1(S^1, e) \cong \mathbb Z$ par le degré, et le lacet $s \mapsto p(s)$, de degré $1$, l'engendre, puisque $1$ engendre $\mathbb Z$.

Avec le nœud Rétractes par déformation, (ii), le morphisme $\alpha : \mathbb Z \to \pi_1(U, x_0)$ qui envoie $1$ sur $[a]_U$ est donc un isomorphisme ; de même $\beta : \mathbb Z \to \pi_1(V, x_0)$, qui envoie $1$ sur $[b]_V$. L'espace $U \cap V$ est simplement connexe, et $U$, $V$, $U \cap V$ sont connexes par arcs. L'espace $W$ l'est aussi : c'est la réunion des deux cercles $A_1$ et $A_2$, images continues de $I$ par $a$ et par $b$, donc connexes par arcs, qui se rencontrent en $x_0$.

Conclusion. Par le théorème de Seifert-van Kampen (Seifert-van Kampen, (ii)), le morphisme qui prolonge $j_U$ et $j_V$ est un isomorphisme de $\pi_1(U, x_0) * \pi_1(V, x_0)$ sur $\pi_1(W, x_0)$.

On le compose avec l'isomorphisme $\alpha * \beta$ (Produit libre, (iv)) et avec celui de $F(a, b)$ sur $\mathbb Z * \mathbb Z$ (même nœud, (v)). La composée envoie la lettre $a$ sur $\iota_1(1)$, puis sur $\iota_1([a]_U)$, puis sur $[a]$ ; de même pour $b$. Le dernier point vient de Groupe libre, (iv).