Théorème de Seifert-van Kampen

(i) Surjectivité. L'image de $\Phi$ est un sous-groupe qui contient $j_U(\pi_1(U, x_0))$ et $j_V(\pi_1(V, x_0))$, donc tout $\pi_1(X, x_0)$ (Engendrement).

Injectivité. Tout élément de $Q$ est un produit fini d'éléments de $\kappa_U(\pi_1(U, x_0)) \cup \kappa_V(\pi_1(V, x_0))$ (Produit amalgamé, (i)). En prenant un lacet dans chacune de ces classes, en nombre fini, on l'écrit comme la valeur $\psi(F)$ d'une factorisation, le neutre étant la valeur de $((c_{x_0}, U))$ $F = ((f_r, W_r))_{r \leqslant k}$. Son image est $$\begin{aligned} \Phi(\psi(F)) &= j_{W_1}([f_1]_{W_1}) \cdots j_{W_k}([f_k]_{W_k}) \\ &= [f_1 \star \cdots \star f_k], \end{aligned}$$ par le point (i) du nœud Découpage.

Si deux éléments $\psi(F)$ et $\psi(F')$ ont la même image, les lacets de $F$ et de $F'$ sont homotopes dans $X$, et $\psi(F) = \psi(F')$ par le lemme des factorisations (Factorisations, (ii)).

(ii) Le groupe $\pi_1(U \cap V, x_0)$ est réduit à son neutre, et le point (iii) du nœud Produit amalgamé identifie $Q$ au produit libre, les morphismes canoniques se correspondant.

(iii) Le groupe $\pi_1(V, x_0)$ est réduit à son neutre. Le point (iv) du nœud Produit amalgamé montre que $\kappa_U$ est surjectif, de noyau $N(i_U(\pi_1(U \cap V, x_0)))$ ; comme $j_U = \Phi \circ \kappa_U$ et que $\Phi$ est un isomorphisme, $j_U$ a la même image et le même noyau. Le dernier point vient du même nœud.