Produit amalgamé

(i) L'élément $\iota_1(i_1(k))\,\iota_2(i_2(k))^{-1}$ appartient à $N = \operatorname{Ker} \pi$, d'où $j_1(i_1(k)) = j_2(i_2(k))$. La seconde affirmation vient du point (i) du nœud Produit libre, appliqué à un antécédent par la projection surjective $\pi$.

(ii) Soit $\psi : G_1 * G_2 \to L$ le morphisme qui prolonge $\varphi_1$ et $\varphi_2$ (Produit libre, (ii)). Il envoie chaque générateur de $N$ sur $\varphi_1(i_1(k))\,\varphi_2(i_2(k))^{-1} = e$ ; son noyau, distingué, contient donc $N$, et $\psi$ se factorise par $\pi$ (Théorème d'isomorphisme). L'unicité vient de ce que $G_1 *_K G_2$ est engendré par $j_1(G_1) \cup j_2(G_2)$.

(iii) Le seul générateur de $N$ est alors $\iota_1(e)\,\iota_2(e)^{-1} = e$, et $N = \{e\}$, qui est distingué. La projection $\pi$, de noyau $\{e\}$, est injective.

(iv) Ici $j_2$ est trivial, et $j_1(i_1(k)) = j_2(i_2(k)) = e$ : le noyau de $j_1$ contient $i_1(K)$, donc $N(i_1(K))$, et $j_1$ induit un morphisme $\beta : G_1/N(i_1(K)) \to G_1 *_K G_2$ tel que $\beta \circ p = j_1$, où $p$ est la projection.

Inversement, $p$ et le morphisme trivial de $G_2$ vérifient $p \circ i_1 = e$, et (ii) fournit $\gamma$ tel que $\gamma \circ j_1 = p$. Alors $\gamma \circ \beta \circ p = p$, donc $\gamma \circ \beta = \mathrm{id}$, puisque $p$ est surjective. Et $\beta \circ \gamma$ prolonge $j_1$ et $j_2$, comme l'identité, donc $\beta \circ \gamma = \mathrm{id}$ par l'unicité dans (ii).

Ainsi $\beta$ est un isomorphisme, $j_1 = \beta \circ p$ est surjectif et son noyau est celui de $p$, c'est-à-dire $N(i_1(K))$. Enfin, si $C$ engendre $K$, l'image réciproque $i_1^{-1}(N(i_1(C)))$ est un sous-groupe (Morphisme, (iii)) qui contient $C$, donc $K$ ; ainsi $i_1(C) \subset i_1(K) \subset N(i_1(C))$ ; on conclut par Présentations, (i).