Produit libre de deux groupes

(i) La relation donne $\iota_\nu(g)\iota_\nu(h) = \iota_\nu(gh)$. Les images $\iota_\nu(G_\nu)$ sont des sous-groupes (Morphisme, (iii)) qui engendrent $G_1 * G_2$ (Présentations, (ii)).

L'ensemble $P$ des produits finis d'éléments de $\iota_1(G_1) \cup \iota_2(G_2)$, définis par récurrence sur le nombre de facteurs, contient $e$, est stable par produit, et par passage à l'inverse puisque $(y_1 \cdots y_k)^{-1} = y_k^{-1} \cdots y_1^{-1}$ et que chaque $y_i^{-1}$ appartient au même sous-groupe que $y_i$. C'est un sous-groupe qui contient les deux images et qui est contenu dans tout sous-groupe les contenant : c'est le groupe entier.

(ii) L'application de $S$ dans $L$ qui envoie $\underline g_\nu$ sur $\varphi_\nu(g)$ annule les relations, puisque $\varphi_\nu(g)\varphi_\nu(h)\varphi_\nu(gh)^{-1} = e$ ; on applique Présentations, (ii).

(iii) On applique (ii) à $\varphi_1 = \mathrm{id}_{G_1}$ et au morphisme $\varphi_2$ qui envoie tout sur $e$ : alors $\varphi \circ \iota_1 = \mathrm{id}_{G_1}$, et $\iota_1$ est injectif. De même pour $\iota_2$.

(iv) Soient $\varphi$ ce morphisme et $\varphi'$ celui qui prolonge $\iota_1 \circ \alpha_1^{-1}$ et $\iota_2 \circ \alpha_2^{-1}$. Le morphisme $\varphi' \circ \varphi$ prolonge $\iota_1$ et $\iota_2$, comme l'identité : par l'unicité dans (ii), $\varphi' \circ \varphi = \mathrm{id}$. De même, $\varphi \circ \varphi' = \mathrm{id}$.

(v) Soit $\varphi$ ce morphisme, et $\psi : F(a, b) \to \mathbb Z * \mathbb Z$ le morphisme tel que $\psi([a]) = \iota_1(1)$ et $\psi([b]) = \iota_2(1)$ (Groupe libre, (ii)).

Les morphismes $\psi \circ \varphi \circ \iota_1$ et $\iota_1$, de $\mathbb Z$ dans $\mathbb Z * \mathbb Z$, envoient tous deux $1$ sur $\iota_1(1)$ : ils sont égaux (Groupe libre, (iii)). De même avec $\iota_2$, et $\psi \circ \varphi = \mathrm{id}$ par (ii).

Enfin $\varphi \circ \psi$ fixe $[a]$ et $[b]$, donc vaut l'identité par la propriété universelle du groupe libre.