Théorème 1Théorème de Seifert-van Kampen

Le groupe libre sur un ensemble

Le groupe libre sur $S$ est l'ensemble quotient $F(S) = \mathcal W(S)/\!\approx$ , muni de la loi $[u][v] = [uv]$ , bien définie par le point (i) du nœud Mots réduits, sans qu'aucun représentant soit choisi (Passage au quotient). On note $\iota : S \to F(S)$ l'application $s \mapsto [s]$ . Si $S = \{a, b\}$ avec $a \neq b$ , on écrit $F(a, b)$ .

Soit $\varphi$ une application de $S$ dans un groupe $G$ . On pose $\varphi(s^{-1}) = \varphi(s)^{-1}$ , de sorte que $\varphi(x^{-1}) = \varphi(x)^{-1}$ pour toute lettre $x$ , puis, par récurrence sur la longueur, en définissant comme au point (iv) du nœud Mots réduits les restrictions aux mots de longueur au plus $n$ , $\tilde\varphi(1) = e$ et $\tilde\varphi(xw) = \varphi(x)\,\tilde\varphi(w)$ : $\tilde\varphi(x_1 \cdots x_n) = \varphi(x_1) \cdots \varphi(x_n).$

Énoncé

(i) $F(S)$ est un groupe, de neutre $[1]$ , et $[x_1 \cdots x_n]^{-1} = [x_n^{-1} \cdots x_1^{-1}].$ Il est engendré par $\iota(S)$ , l'application $\iota$ est injective, et chaque élément est la classe d'un unique mot réduit.

(ii) Propriété universelle. Pour toute application $\varphi$ de $S$ dans un groupe $G$ , il existe un unique morphisme $\bar\varphi : F(S) \to G$ tel que $\bar\varphi \circ \iota = \varphi$ ; il est donné par $\bar\varphi([w]) = \tilde\varphi(w)$ .

(iii) ${\mathbb Z}$ est libre sur $\{1\}$ . Le morphisme $\theta : F(\{s\}) \to \mathbb Z$ tel que $\theta([s]) = 1$ est un isomorphisme. Par suite, pour tout élément $g$ d'un groupe $G$ , il existe un unique morphisme de $\mathbb Z$ dans $G$ qui envoie $1$ sur $g$ ; on note $g^n$ l'image de $n$ . On a $g^1 = g$ , $g^{m + n} = g^m g^n$ , et $f(g^n) = f(g)^n$ pour tout morphisme $f$ .

(iv) Si $s$ et $t$ sont deux éléments distincts de $S$ , alors $[s][t] \neq [t][s]$ : $F(S)$ n'est pas commutatif.

Démonstration

(i) La loi est associative et $[1]$ est neutre, comme pour la concaténation. On a $[x][x^{-1}] = [xx^{-1}] = [1]$ , et de même $[x^{-1}][x] = [1]$ , puisque $(x^{-1})^{-1} = x$ .

Comme $[x_1 \cdots x_n] = [x_1] \cdots [x_n]$ est un produit d'éléments inversibles, il est inversible, d'inverse $[x_n^{-1}] \cdots [x_1^{-1}]$ (Monoïde, (ii)) : le monoïde $F(S)$ est un groupe (Groupe, (i)).

Un sous-groupe qui contient $\iota(S)$ contient les $[s]^{-1} = [s^{-1}]$ , donc les classes de toutes les lettres, puis, par récurrence sur la longueur, celles de tous les mots. Enfin deux éléments distincts de $S$ sont deux mots réduits distincts, de classes distinctes, et chaque classe contient un unique mot réduit (Mots réduits, (iv)).

(ii) Par récurrence sur la longueur de $u$ , $\tilde\varphi(uv) = \tilde\varphi(u)\tilde\varphi(v)$ . Par suite $\begin{aligned} \tilde\varphi(u\,xx^{-1}\,v) &= \tilde\varphi(u)\,\varphi(x)\varphi(x)^{-1}\,\tilde\varphi(v) \\ &= \tilde\varphi(uv), \end{aligned}$ et $\tilde\varphi$ est constante sur les classes. Elle passe au quotient en une application $\bar\varphi$ , qui est un morphisme par la multiplicativité de $\tilde\varphi$ , et $\bar\varphi([s]) = \varphi(s)$ .

Deux morphismes qui coïncident sur $\iota(S)$ coïncident sur l'ensemble où ils sont égaux, qui est un sous-groupe (Sous-groupe, (i)) contenant $\iota(S)$ , c'est-à-dire sur $F(S)$ tout entier.

(iii) Dans un mot réduit sur la seule lettre $s$ , deux lettres consécutives sont égales, puisque $ss^{-1}$ et $s^{-1}s$ sont exclus : toutes ses lettres sont égales. Les mots réduits sont donc le mot vide $w_0$ et, pour $n \geqslant 1$ , le mot $w_n$ formé de $n$ lettres $s$ et le mot $w_{-n}$ formé de $n$ lettres $s^{-1}$ .

Par récurrence sur $n$ , $\theta([w_n]) = n$ pour tout $n \in \mathbb Z$ . Comme chaque élément de $F(\{s\})$ est la classe d'un unique $w_n$ , par (i), $\theta$ est bijective.

Pour $g \in G$ , soit $\varphi(s) = g$ ; alors $\bar\varphi \circ \theta^{-1}$ est un morphisme de $\mathbb Z$ dans $G$ qui envoie $1$ sur $g$ . Si deux morphismes $f$ , $f'$ de $\mathbb Z$ dans $G$ coïncident en $1$ , alors $f \circ \theta$ et $f' \circ \theta$ coïncident en $[s]$ , donc sont égaux par (ii), et $f = f'$ .

Les règles de calcul en découlent : $n \mapsto g^n$ est un morphisme, et $n \mapsto f(g^n)$ et $n \mapsto f(g)^n$ sont deux morphismes qui envoient $1$ sur $f(g)$ .

(iv) Les mots $st$ et $ts$ sont réduits et distincts ; leurs classes sont distinctes par (i).

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Remarque

Le groupe libre ne vérifie aucune relation autre que celles qu'impose la définition d'un groupe : c'est ce que dit la propriété universelle, puisqu'on peut envoyer $S$ n'importe où. Le point (iii) en tire, sans aucune distinction de cas selon le signe, les puissances entières dans un groupe quelconque, que la théorie des structures algébriques, construite avant les entiers, ne pouvait pas définir.

Remarque

Le groupe abélien libre $\mathbb Z^{(S)}$ , qui servira dans la théorie de l'homologie à construire les chaînes, en est l'analogue commutatif. Pour $S$ à deux éléments, les deux groupes diffèrent déjà : l'un est commutatif, l'autre ne l'est pas, par (iv).

Remarque

Tout sous-groupe d'un groupe libre est libre : c'est le théorème de Nielsen-Schreier, démontré par J. Nielsen pour les sous-groupes de type fini (1921), puis par O. Schreier en général (Die Untergruppen der freien Gruppen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 5, 1927, p. 161-183). Ce théorème est admis ici. Le cas général est un énoncé ⋆ : ses démonstrations connues utilisent l'axiome du choix, et il n'est pas démontrable dans $\mathsf{ZF}$ seul (H. Läuchli, Comment. Math. Helv. 37, 1962, p. 1-18, dans un modèle à atomes, transféré à $\mathsf{ZF}$ par le théorème de Jech-Sochor). Il entraîne même le choix pour les familles d'ensembles finis non vides (P. E. Howard, J. Symbolic Logic 50, 1985, p. 458-467 ; démonstration plus courte par P. Kleppmann, 2015).

Repose sur

Mots, réduction et action de van der Waerden

Sert à

Sous-groupe distingué engendré, présentations