Lemme des factorisations

(i) On a $[f]_U = i_U([f]_{U \cap V})$ et $[f]_V = i_V([f]_{U \cap V})$, et $\kappa_U \circ i_U = \kappa_V \circ i_V$ (Produit amalgamé, (i)).

(ii) Soient $F = ((f_r, W_r))_{r \leqslant k}$ et $F' = ((f'_r, W'_r))_{r \leqslant l}$, et $H$ une homotopie de $f = f_1 \star \cdots \star f_k$ à $f' = f'_1 \star \cdots \star f'_l$. Ainsi $H(s, 0) = f(s)$, $H(s, 1) = f'(s)$, et $H(0, t) = H(1, t) = x_0$.

La grille. Par le découpage (Découpage, (ii)), il existe un multiple $N$ de $k$ et de $l$ tel que $H$ envoie chaque carré $R_{ij} = [\frac{i - 1}N, \frac iN] \times [\frac{j - 1}N, \frac jN]$ dans $U$ ou dans $V$ ; on lui attache $U$ si $H(R_{ij}) \subset U$, et $V$ sinon.

Les sommets. Pour un sommet $v$ de la grille, soit $\Omega(v)$ l'intersection des ouverts attachés aux carrés qui contiennent $v$ et, si $v$ est sur le côté inférieur, des ouverts $W_r$ des intervalles $[\frac{r - 1}k, \frac rk] \times \{0\}$ qui le contiennent ; de même sur le côté supérieur avec les $W'_r$.

L'ensemble $\Omega(v)$ vaut $U$, $V$ ou $U \cap V$ ; il est connexe par arcs et contient $x_0$ et $H(v)$. On prend un chemin $g_v$ de $x_0$ à $H(v)$ dans $\Omega(v)$, constant lorsque $H(v) = x_0$ est imposé, c'est-à-dire sur les côtés verticaux et aux points $(\frac rk, 0)$ et $(\frac rl, 1)$. Ce sont des choix en nombre fini.

Les arêtes. Pour une arête $e$ de la grille, parcourue de gauche à droite ou de haut en bas d'un sommet $v$ à un sommet $w$, soit $H_e(s) = H((1 - s)v + sw)$, et $$\hat g_e = g_v \star H_e \star \bar g_w.$$ C'est un lacet en $x_0$, contenu dans l'ouvert attaché à tout carré qui contient $e$, et, pour une arête du côté inférieur ou supérieur, dans l'ouvert $W_r$ ou $W'_r$ correspondant : ces ouverts contiennent $\Omega(v)$, $\Omega(w)$ et $H(e)$. On les appelle les ouverts admissibles pour $e$.

Les escaliers. Pour $1 \leqslant j \leqslant N$ et $0 \leqslant i \leqslant N$, l'escalier $P_{j,i}$ est la suite d'arêtes qui va, à la hauteur $\frac jN$, de l'abscisse $0$ à l'abscisse $\frac iN$, descend à la hauteur $\frac{j - 1}N$, puis va jusqu'à l'abscisse $1$. Sa valeur $\psi(P_{j,i})$ est celle de la factorisation formée des $\hat g_e$, chacun muni d'un ouvert admissible ; par (i), elle ne dépend pas de ces ouverts, puisque si deux ouverts admissibles diffèrent, $\hat g_e$ est contenu dans $U \cap V$.

Passage d'un escalier au suivant. Les escaliers $P_{j,i-1}$ et $P_{j,i}$ ne diffèrent que par deux arêtes consécutives : le côté gauche puis le côté inférieur du carré $R = R_{ij}$ pour le premier, son côté supérieur puis son côté droit pour le second. Soit $W$ l'ouvert attaché à $R$, admissible pour ces quatre arêtes, et $v$, $w$ les coins supérieur gauche et inférieur droit de $R$.

Dans $\pi_1(W, x_0)$, les allers-retours $\bar g \star g$ disparaissent, et le produit des deux premières classes est celui de $g_v \star (H_{\text{gauche}} \star H_{\text{bas}}) \star \bar g_w$, le produit des deux autres celui de $g_v \star (H_{\text{haut}} \star H_{\text{droite}}) \star \bar g_w$. Les deux chemins de $v$ à $w$ qui longent le bord de $R$ sont homotopes dans le convexe $R$ (Découpage, (iii)), et leurs images par $H$ le sont dans $W$.

Les deux produits sont donc égaux dans $\pi_1(W, x_0)$ ; comme $\kappa_W$ est un morphisme, $\psi(P_{j,i-1}) = \psi(P_{j,i})$.

De $P_{j,N}$ à $P_{j+1,0}$, seules changent une arête du côté droit et une arête du côté gauche, où $H$ et les $g_v$ sont constants : leurs lacets $\hat g_e$ sont homotopes au lacet constant, de valeur triviale. Les arêtes horizontales communes ont la même valeur, quel que soit l'ouvert admissible choisi. Donc $\psi(P_{j,N}) = \psi(P_{j+1,0})$.

Les deux bouts. L'escalier $P_{1,0}$ est formé d'une arête du côté gauche, de valeur triviale, puis des arêtes du bas, regroupées en $k$ paquets de $\frac Nk$ arêtes. Les arêtes du $r$-ième paquet admettent l'ouvert $W_r$, et les chemins $g$ sont constants aux deux bouts du paquet.

Dans $\pi_1(W_r, x_0)$, le produit des classes du paquet est donc la classe du produit équilibré des $H_e$, qui est exactement $f_r$, puisque $H(s, 0) = f(s)$. Ainsi $\psi(P_{1,0}) = \psi(F)$, et de même $\psi(P_{N,N}) = \psi(F')$.

En enchaînant $P_{1,0}, P_{1,1}, \dots, P_{1,N}, P_{2,0}, \dots, P_{N,N}$, on obtient $\psi(F) = \psi(F')$.