Le groupe fondamental d'une réunion est engendré par ceux des morceaux

Soit $\gamma$ un lacet en $x_0$. Par le découpage (Découpage, (ii)), il existe $m \geqslant 1$ tel que chaque $\gamma([s_{k-1}, s_k])$, où $s_k = \frac km$, soit contenu dans $U$ ou dans $V$ ; on note $W_k = U$ s'il est contenu dans $U$, et $W_k = V$ sinon.

Pour $0 < k < m$, le point $\gamma(s_k)$ appartient à $W_k \cap W_{k+1}$, qui vaut $U$, $V$ ou $U \cap V$, trois espaces connexes par arcs contenant $x_0$. On prend un chemin $\alpha_k$ de $x_0$ à $\gamma(s_k)$ dans $W_k \cap W_{k+1}$ ; ce ne sont qu'un nombre fini de choix, qui se font par récurrence sur $k$. On pose $\alpha_0 = \alpha_m = c_{x_0}$.

Avec $\gamma_k(s) = \gamma\big(\frac{k - 1 + s}m\big)$, le chemin $$\delta_k = \alpha_{k-1} \star \gamma_k \star \bar\alpha_k$$ est un lacet en $x_0$ contenu dans $W_k$, puisque $\alpha_{k-1}$ et $\alpha_k$ y sont. C'est donc un lacet de l'espace $W_k$ (Topologie induite).

Dans $X$, le chemin $\delta_1 \star \cdots \star \delta_m$ est homotope à $\gamma_1 \star \cdots \star \gamma_m = \gamma$ : les allers-retours $\bar\alpha_k \cdot \alpha_k$ sont homotopes à des chemins constants, et la concaténation de chemins quelconques est associative à homotopie près (Fonctorialité, (ii)). Par le point (i) du nœud Découpage, $$[\gamma] = [\delta_1 \star \cdots \star \delta_m] = [\delta_1] \cdots [\delta_m].$$

Chaque $[\delta_k]$ est l'image par $j_{W_k}$ de la classe de $\delta_k$ dans $\pi_1(W_k, x_0)$, d'où la première affirmation.

Si $U$ et $V$ sont simplement connexes, ces images sont triviales, et $\pi_1(X, x_0)$ aussi. L'espace $X$ est connexe par arcs, puisque tout point est relié à $x_0$ dans $U$ ou dans $V$.