Proposition 3Topologie algébrique

Fonctorialité et changement de point de base

Énoncé

(i) Toute application continue $f : X \to Y$ induit un morphisme de groupes $f_* : {\pi_1}(X, x) \to \pi_1(Y, f(x))$ , $[\gamma] \mapsto [f \circ \gamma]$ . On a $(g \circ f)_* = g_* \circ f_*$ et $(\mathrm{id}_X)_* = \mathrm{id}$ ; en particulier, un homéomorphisme induit un isomorphisme.

(ii) Si $\alpha$ est un chemin de $x$ à $y$ , l'application $[\gamma] \mapsto [\bar\alpha \cdot \gamma \cdot \alpha]$ est un isomorphisme de $\pi_1(X, x)$ sur $\pi_1(X, y)$ . Dans un espace connexe par arcs, le groupe fondamental ne dépend donc pas du point de base, à isomorphisme près.

Démonstration

(i) Si $H$ est une homotopie de $\gamma$ à $\delta$ , $f \circ H$ en est une de $f \circ \gamma$ à $f \circ \delta$ : $f_*$ est bien défini.

Il est multiplicatif, puisque $f \circ (\gamma \cdot \delta) = (f \circ \gamma) \cdot (f \circ \delta)$ . Les deux égalités sont immédiates ; si $f$ est un homéomorphisme, $(f^{-1})_*$ est l'inverse de $f_*$ .

(ii) Les homotopies du nœud Groupe fondamental valent pour des chemins quelconques, et non seulement pour des lacets : la concaténation est associative à homotopie près, $c_u \cdot \beta \simeq \beta \simeq \beta \cdot c_v$ pour un chemin $\beta$ de $u$ à $v$ , et $\alpha \cdot \bar\alpha \simeq c_x$ , $\bar\alpha \cdot \alpha \simeq c_y$ .

On en déduit que l'application est un morphisme, puisque $\begin{aligned} &\bar\alpha \cdot \gamma \cdot \alpha \cdot \bar\alpha \cdot \delta \cdot \alpha \\ &\qquad \simeq \bar\alpha \cdot \gamma \cdot \delta \cdot \alpha, \end{aligned}$ et que l'application associée à $\bar\alpha$ en est l'inverse.

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Remarque

Le point (i) est le principe même de la topologie algébrique : deux espaces homéomorphes ont des groupes fondamentaux isomorphes. Pour montrer que deux espaces ne sont pas homéomorphes, il suffit donc de trouver des groupes fondamentaux différents.

Repose sur

Le groupe fondamental

Sert à

Premières conséquences Théorème de Seifert-van Kampen