Théorème 2Fonctions trigonométriques

L'équation y″ + y = 0, formules d'addition et périodicité

Une fonction $f : {\mathbb R} \to \mathbb R$ est périodique de période $T > 0$ si $f(x + T) = f(x)$ pour tout réel $x$ .

Énoncé

(i) Unicité. Soit $I$ un intervalle non réduit à un point, $x_0 \in I$ et $y : I \to \mathbb R$ deux fois dérivable telle que $y'' + y = 0$ sur $I$ . Si $y(x_0) = y'(x_0) = 0$ , alors $y$ est nulle sur $I$ .

(ii) Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont deux fois dérivables et vérifient $y'' + y = 0$ sur $\mathbb R$ . Toute fonction $y : \mathbb R \to \mathbb R$ deux fois dérivable telle que $y'' + y = 0$ s'écrit $y = y(0)\cos + y'(0)\sin.$

(iii) Formules d'addition. Pour tous réels $x$ et $a$ , $\begin{aligned} \cos(x + a) &= \cos x \cos a - \sin x \sin a, \\ \sin(x + a) &= \sin x \cos a + \cos x \sin a. \end{aligned}$

(iv) Parité. Le cosinus est pair et le sinus impair ; pour tout réel $x$ , $\cos(\frac\pi2 - x) = \sin x$ et $\sin(\frac\pi2 - x) = \cos x$ .

(v) Périodicité. Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont périodiques de période $2\pi$ .

(vi) Caractérisation. Soit $C, S : \mathbb R \to \mathbb R$ dérivables telles que $C' = -S$ , $S' = C$ , $C(0) = 1$ et $S(0) = 0$ . Alors $C = \cos$ et $S = \sin$ .

Démonstration

(i) La fonction $E = y^2 + y'^2$ est dérivable, puisque $y$ et $y'$ le sont, et $E' = 2yy' + 2y'y'' = 2y'\,(y + y'') = 0.$ Elle est donc constante sur l'intervalle $I$ (Signe de la dérivée, (ii)), égale à $E(x_0) = 0$ . Comme $y^2 \leqslant E$ , la fonction $y$ est nulle.

(ii) Par Cosinus et sinus sur ℝ, (iii), la dérivée de $\cos$ est $-\sin$ , elle-même dérivable de dérivée $-\cos$ ; donc $\cos'' = -\cos$ , et de même $\sin'' = -\sin$ .

Soit $y$ une solution, et $z = y - y(0)\cos - y'(0)\sin$ . C'est une solution, puisque l'équation est linéaire ; et, comme $\cos 0 = 1$ et $\sin 0 = 0$ , $\begin{aligned} z(0) &= y(0) - y(0) = 0, \\ z'(0) &= y'(0) - y'(0) = 0. \end{aligned}$ Par (i), $z$ est nulle.

(iii) Fixons $a$ . La fonction $x \mapsto \cos(x + a)$ est deux fois dérivable, de dérivée seconde $-\cos(x + a)$ (Dérivée d'une composée) ; c'est une solution, qui vaut $\cos a$ en $0$ et dont la dérivée vaut $-\sin a$ en $0$ . Par (ii), $\cos(x + a) = \cos a \cos x - \sin a \sin x.$ En dérivant par rapport à $x$ , on obtient $-\sin(x + a) = -\cos a \sin x - \sin a \cos x$ , qui est la seconde formule.

(iv) La fonction $x \mapsto \cos(-x)$ est une solution, de dérivée $x \mapsto \sin(-x)$ ; elle vaut $1$ en $0$ , et sa dérivée y vaut $0$ . Par (ii), $\cos(-x) = \cos x$ . De même, $x \mapsto \sin(-x)$ est une solution, de dérivée $x \mapsto -\cos(-x)$ , qui vaut $0$ en $0$ et dont la dérivée y vaut $-1$ : $\sin(-x) = -\sin x$ .

Par (iii) avec $a = \frac\pi2$ , et parce que $\cos\frac\pi2 = 0$ et $\sin\frac\pi2 = 1$ , on a $\cos(\frac\pi2 - x) = \cos(-x)\cdot 0 - \sin(-x) \cdot 1 = \sin x$ et $\sin(\frac\pi2 - x) = \sin(-x) \cdot 0 + \cos(-x) \cdot 1 = \cos x$ .

(v) La relation $f(x + \pi) = -f(x)$ du nœud Cosinus et sinus sur ℝ, appliquée deux fois, donne $f(x + 2\pi) = f(x)$ pour $f = \cos$ et $f = \sin$ .

(vi) La dérivée $C' = -S$ est dérivable, donc $C$ est deux fois dérivable, et $C'' = -S' = -C$ . Par (ii), $\begin{aligned} C &= C(0)\cos + C'(0)\sin \\ &= \cos - S(0)\sin = \cos. \end{aligned}$ Enfin $S = -C' = -\cos' = \sin$ .

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Remarque

La quantité $E = y^2 + y'^2$ est l'énergie de l'oscillateur harmonique : sa conservation suffit à prouver l'unicité, sans aucune théorie générale des équations différentielles. Celle-ci, avec le théorème de Cauchy-Lipschitz, est l'objet du nœud Cauchy-Lipschitz.

Remarque

Il faut deux conditions initiales. La seule condition $y(0) = 0$ ne détermine pas la solution : la fonction nulle et le sinus la vérifient toutes deux. C'est la condition sur $y'(0)$ qui les distingue, et l'énergie $E$ en tient compte, puisqu'elle contient $y'^2$ .

Remarque

Les formules d'addition donnent des valeurs exactes. Avec $a = x$ , on a $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$ et $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ ; en $x = \frac\pi4$ , comme $\cos\frac\pi2 = 0$ et $\cos\frac\pi4 > 0$ ( $\frac\pi4 \in I_0$ ), il vient $\cos\frac\pi4 = \frac{1}{\sqrt 2}$ . C'est bien ce que donne la définition $c = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2}}$ , puisque $\tan\frac\pi4 = 1$ par Arc tangente, π, (iv).

De même, $\cos 3x = \cos 2x\cos x - \sin 2x \sin x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ . En $x = \frac\pi3$ , le réel $u = \cos\frac\pi3$ vérifie $4u^3 - 3u = \cos\pi = -1$ , soit $(u + 1)(2u - 1)^2 = 0$ ; comme $u > 0$ , on obtient $\cos\frac\pi3 = \frac12$ .

Remarque

En analyse complexe, ces deux formules sont les parties réelle et imaginaire de $\exp(i(x + a)) = \exp(ix)\exp(ia)$ , une fois établie l'égalité $\exp(it) = \cos t + i\sin t$ (Exponentielle, (iii)), qui repose elle-même sur le point (vi). Ici, sans nombres complexes, elles viennent de l'unicité (ii) : $x \mapsto \cos(x + a)$ est une solution, et il suffit de lire ses conditions initiales.

Repose sur

Prolongement du cosinus et du sinus à ℝ

Sert à

Zéros, périodes et paramétrage du cercle