La fonction arc tangente et le nombre π

(i) Par le théorème fondamental de l'analyse (Théorème fondamental), $\arctan$ est dérivable et $\arctan'(x) = \frac{1}{1 + x^2} > 0$ ; elle est donc strictement croissante sur $\mathbb R$ (Signe de la dérivée, (iii)). On a $\arctan 0 = \int_0^0 = 0$.

Pour l'imparité, la fonction $g(x) = \arctan x + \arctan(-x)$ est dérivable, de dérivée $$g'(x) = \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + (-x)^2} = 0,$$ par la dérivée d'une composée (Dérivée d'une composée). Elle est donc constante sur l'intervalle $\mathbb R$ (Signe de la dérivée, (ii)), égale à $g(0) = 0$.

(ii) La fonction $k(x) = x - \arctan x$ a pour dérivée $\frac{x^2}{1 + x^2}$, strictement positive sur $]0, +\infty[$ ; elle est donc strictement croissante sur $[0, +\infty[$, et $k(x) > k(0) = 0$ pour $x > 0$. De même, $\arctan x > \arctan 0 = 0$ pour $x > 0$. En particulier, $\arctan 1 < 1$.

Pour majorer $\arctan$ sur $[1, +\infty[$, on compare $\frac{1}{1 + t^2}$ à $\frac{1}{t^2}$, dont $-\frac1t$ est une primitive ; la dérivée fait la comparaison sans calculer d'intégrale. La fonction $h(x) = \arctan x + \frac1x$ a pour dérivée $$h'(x) = \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{x^2} = -\frac{1}{x^2(1 + x^2)} < 0$$ sur $]1, +\infty[$ (Opérations, (iii)). Elle est donc strictement décroissante sur $[1, +\infty[$, et pour $x \geqslant 1$, $$\arctan x < h(x) \leqslant h(1) = 1 + \arctan 1.$$

Pour $0 \leqslant x \leqslant 1$, on a $\arctan x \leqslant \arctan 1 < 1 + \arctan 1$ par croissance. Ainsi $\arctan x < 1 + \arctan 1$ pour tout $x \geqslant 0$, et l'imparité donne $|\arctan x| < 1 + \arctan 1$ pour tout réel $x$. Enfin $1 + \arctan 1 < 2$.

(iii) L'ensemble des valeurs de $\arctan$ est non vide et majoré par $2$ ; il a une borne supérieure (ℝ, corps ordonné complet), et $\frac\pi2 \geqslant \arctan 1 > 0$.

Cette borne n'est pas atteinte : si l'on avait $\arctan x_0 = \frac\pi2$, on aurait $\arctan(x_0 + 1) > \frac\pi2$ par stricte croissance. Donc $\arctan x < \frac\pi2$ pour tout $x$, et, par imparité, $\arctan x = -\arctan(-x) > -\frac\pi2$.

Soit $\varepsilon > 0$. Par la caractérisation de la borne supérieure (ℝ, corps ordonné complet, remarque), il existe $x_0$ tel que $\arctan x_0 > \frac\pi2 - \varepsilon$. Pour $x \geqslant x_0$, la croissance donne $$\frac\pi2 - \varepsilon < \arctan x_0 \leqslant \arctan x < \frac\pi2,$$ ce qui est la limite en $+\infty$. Celle en $-\infty$ s'en déduit par imparité.

(iv) Sur l'intervalle $]0, +\infty[$, la fonction $g(x) = \arctan x + \arctan \frac1x$ est dérivable, et la dérivée de $x \mapsto \frac1x$ étant $-\frac{1}{x^2}$, $$\begin{aligned} g'(x) &= \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{x^2}} \\ &= \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{x^2 + 1} = 0. \end{aligned}$$ La fonction $g$ est donc constante sur l'intervalle $]0, +\infty[$ (Signe de la dérivée, (ii)) ; notons $C$ sa valeur.

Soit $\varepsilon > 0$. Par (iii), il existe $x_0$ tel que $\big|\arctan x - \frac\pi2\big| < \frac\varepsilon2$ pour $x \geqslant x_0$, et par (ii), $0 < \arctan \frac1x < \frac1x$ pour $x > 0$. Pour $x \geqslant \max\big(x_0, \frac2\varepsilon\big)$, on obtient $$\begin{aligned} \Big|C - \frac\pi2\Big| &\leqslant \Big|\arctan x - \frac\pi2\Big| + \arctan\frac1x \\ &< \varepsilon. \end{aligned}$$ Ceci valant pour tout $\varepsilon > 0$, on a $C = \frac\pi2$. Pour $x = 1$, cela donne $2\arctan 1 = \frac\pi2$.

Enfin, par la relation de Chasles orientée (Propriétés de l'intégrale, (v)) et l'imparité, $$\begin{aligned} \int_{-1}^1 \frac{dt}{1 + t^2} &= \arctan 1 - \arctan(-1) \\ &= 2\arctan 1 = \frac\pi2. \end{aligned}$$