Théorème 5Classification des revêtements

Les espaces projectifs réels

Pour $n \geqslant 1$ , l'espace projectif réel $\mathbb RP^n$ est le quotient de la sphère ${S^n}$ par la relation $x \sim y \iff y = x$ ou $y = -x$ , muni de la topologie quotient ; on note $q : S^n \to \mathbb RP^n$ la projection. Pour $x, y \in \mathbb R^{n+1}$ , on pose $\langle x, y \rangle = x_1y_1 + \cdots + x_{n+1}y_{n+1}$ .

Énoncé

(i) $q$ est un revêtement à deux feuillets.

(ii) Pour $n \geqslant 2$ , $q$ est un revêtement universel, et ${\pi_1}(\mathbb RP^n)$ est isomorphe à $\mathbb Z/2\mathbb Z$ . Si $x_0 \in S^n$ et si $\gamma$ est un chemin de $S^n$ de $x_0$ à $-x_0$ , la classe du lacet $q \circ \gamma$ en est l'élément non trivial.

Démonstration

(i) L'application $a(x) = -x$ est continue de $S^n$ dans $S^n$ , ses coordonnées étant polynomiales (Sphère unité Sⁿ, (i), et Topologie induite), et c'est sa propre réciproque : un homéomorphisme. L'application $q$ est continue (Topologie quotient) et ouverte, puisque pour un ouvert $V$ , $q^{-1}(q(V)) = V \cup a(V)$ est ouvert.

Pour $x \in S^n$ , soit $U_x = \{y \in S^n : \langle x, y \rangle > 0\}$ , ouvert par continuité de $y \mapsto \langle x, y \rangle$ . On a $a(U_x) = U_{-x}$ , disjoint de $U_x$ , et $q^{-1}(q(U_x)) = U_x \cup U_{-x}$ .

La restriction de $q$ à $U_x$ est continue, ouverte, et injective, puisque $y$ et $-y$ ne sont pas tous deux dans $U_x$ : c'est un homéomorphisme sur l'ouvert $q(U_x)$ , et de même pour $U_{-x}$ , puisque $q(U_{-x}) = q(U_x)$ . Ainsi $q(U_x)$ est uniformément couvert, et la fibre $\{x, -x\}$ a deux points.

Pour

n = 1

, au-dessus de l'ouvert

q(U_x)

, l'image réciproque est formée de deux arcs ouverts antipodaux :

U_x

, en rouge, où

\langle x, y \rangle > 0

, et

U_{-x}

, en bleu. L'application

a

échange les deux feuillets, et la fibre de chaque point est une paire

\{y, -y\}

(ii) La sphère $S^n$ est simplement connexe (Sphères Sⁿ, n ⩾ 2) et localement connexe par arcs (Connexité locale par arcs, (ii)). L'identité et $a$ sont des automorphismes, puisque $q \circ a = q$ .

Un automorphisme $\varphi$ envoie $x_0$ sur $x_0$ ou sur $-x_0$ , et coïncide alors en $x_0$ avec l'identité ou avec $a$ : il lui est égal (Automorphismes, (ii)). Le groupe $\operatorname{Aut}(S^n/\mathbb RP^n)$ a donc deux éléments, comme $\pi_1(\mathbb RP^n, q(x_0))$ , qui lui est isomorphe (même nœud, (iv)).

Un groupe à deux éléments $\{1, g\}$ vérifie $g^2 = 1$ , puisque $g^2 = g$ entraînerait $g = 1$ ; l'application $\bar 0 \mapsto 1$ , $\bar 1 \mapsto g$ est donc un isomorphisme de $\mathbb Z/2\mathbb Z$ sur lui.

Enfin $\gamma$ est le relèvement de $q \circ \gamma$ issu de $x_0$ , et ce n'est pas un lacet : par le point (ii) du nœud Action sur la fibre, $[q \circ \gamma]$ n'appartient pas au sous-groupe trivial $q_*(\pi_1(S^n, x_0))$ .

□

Remarque

Le lacet $q \circ \gamma$ de (ii) est de carré trivial, alors que lui-même ne l'est pas : parcouru deux fois, il se relève en un chemin de $x_0$ à $-x_0$ , puis de $-x_0$ à $x_0$ , qui est un lacet. C'est un lacet qui ne se contracte pas, mais dont le double se contracte, phénomène impossible dans le cercle ou le tore, dont les groupes fondamentaux $\mathbb Z$ et $\mathbb Z^2$ n'ont aucun élément d'ordre $2$ .

Remarque

Le plan projectif $\mathbb RP^2$ n'est donc homéomorphe ni à $S^2$ , simplement connexe, ni au tore, ni au cercle, de groupes fondamentaux infinis. La dernière remarque du nœud Tore annonçait le même groupe pour le carré dont on identifie les points antipodaux du bord ; que ce carré recollé soit homéomorphe à $\mathbb RP^2$ est admis ici, et le calcul fait par Seifert-van Kampen pour lui reste admis.

Remarque

Pour $n = 1$ , la sphère $S^1$ n'est pas simplement connexe, et (ii) ne s'applique pas : $\mathbb RP^1$ est homéomorphe au cercle, et $q$ correspond au revêtement $z \mapsto z^2$ du nœud Revêtements du cercle. Cette identification est admise ici ; il faudrait identifier le cercle unité de $\mathbb R^2$ à $\mathbb R/\mathbb Z$ par une application compatible avec $x \mapsto -x$ .

Repose sur

Existence du revêtement universel Automorphismes d'un revêtement

Sert à

Aucune fiche de ce graphe ne l'utilise encore.