Les revêtements du cercle

(i) $p$ est un revêtement (Groupe fondamental du cercle, (i)) et $\mathbb R$ est simplement connexe et localement connexe par arcs (Simple connexité, Connexité locale par arcs). Chaque $\tau_k$ est un homéomorphisme tel que $p \circ \tau_k = p$, et $\tau_k \circ \tau_l = \tau_{k + l}$.

Un automorphisme $\varphi$ envoie $0$ dans la fibre $\mathbb Z$, et coïncide en $0$ avec $\tau_{\varphi(0)}$ : il lui est égal (Automorphismes, (ii)). Ainsi $k \mapsto \tau_k$ est un morphisme bijectif.

(ii) Revêtement. Pour $y \in \mathbb R$, soit $J = \,]y - \frac12, y + \frac12[$ et $U = p(J)$, uniformément couvert par $p$. Pour $0 \leqslant k < n$, posons $J_k = \frac{J + k}n$, intervalle ouvert de longueur $\frac1n$. Comme $p_n \circ p = p \circ m_n$, où $m_n(x) = nx$, un réel $x$ vérifie $p_n(p(x)) \in U$ si et seulement si $nx \in J + m$ pour un entier $m$, c'est-à-dire, en écrivant $m = qn + k$, si $x \in J_k + q$.

Donc $p_n^{-1}(U)$ est la réunion des ouverts $V_k = p(J_k)$. Ils sont deux à deux disjoints, puisque les intervalles $\frac{J + m}n$, $m \in \mathbb Z$, le sont et que $V_k = p(J_k + \mathbb Z)$.

Sur $V_k$, l'application $p_n$ est la composée de la réciproque de $p|_{J_k}$, de $m_n$, homéomorphisme de $J_k$ sur $J + k$, et de $p|_{J + k}$ : trois homéomorphismes, puisque $p$ est injective, continue et ouverte sur tout intervalle ouvert de longueur au plus $1$ (Groupe fondamental du cercle, preuve de (i)). C'est donc un homéomorphisme de $V_k$ sur $U$, et $p_n$ est un revêtement, surjectif puisque $p_n(p(x/n)) = p(x)$.

Fibre et sous-groupe. La fibre au-dessus de $e$ est formée des $n$ points distincts $p(\frac kn)$, $0 \leqslant k < n$. Le lacet $\alpha_m(s) = p(ms)$, de degré $m$, se relève par $p_n$ à partir de $e$ en $s \mapsto p(\frac{ms}n)$, qui est un lacet si et seulement si $n$ divise $m$. Par le point (ii) du nœud Action sur la fibre, $p_{n*}(\pi_1(S^1, e)) = n\mathbb Z$.

Automorphismes. Le groupe $\mathbb Z$ est commutatif, donc $n\mathbb Z$ y est distingué (Sous-groupe distingué, (iii)), et $p_n$ est galoisien, de groupe $\mathbb Z/n\mathbb Z$ (Revêtements galoisiens, (i)). La rotation $\rho$ vérifie $p_n \circ \rho = p_n$ ; elle est continue, de réciproque $p(x) \mapsto p(x - \frac1n)$, et c'est l'automorphisme $\varphi_1$ du nœud Automorphismes, puisque le relèvement de $\alpha_1$ issu de $e$ se termine en $p(\frac1n) = \rho(e)$. Elle engendre donc le groupe, image de $1$, qui engendre $\mathbb Z$.

(iii) $S^1$ est connexe, comme image de $\mathbb R$, localement connexe par arcs (Connexité locale par arcs, (iii)) et semi-localement simplement connexe (Semi-locale simple connexité, (i)), par (i). Les sous-groupes de $\mathbb Z$ sont les $n\mathbb Z$, $n \in \mathbb N$ (Idéaux de ℤ), deux à deux non conjugués puisque $\mathbb Z$ est commutatif. Par la classification (Classification, (iii)), un revêtement connexe correspond à l'un d'eux : $\{0\}$ pour $p$, $n\mathbb Z$ pour $p_n$ si $n \geqslant 1$.