Action du groupe fondamental sur la fibre

(i) Le point $\tilde\gamma_e(1)$ est au-dessus de $\gamma(1) = b_0$. Le chemin constant $c_e$ relève le lacet constant $c_{b_0}$, donc $e \cdot 1 = e$ par unicité du relèvement.

Soient $g = [\gamma]$, $h = [\delta]$ et $e' = \tilde\gamma_e(1)$. Le chemin $\tilde\gamma_e \cdot \tilde\delta_{e'}$ est défini et continu (Chemins, (ii)), il part de $e$, et sa composée avec $p$ est $\gamma \cdot \delta$ : c'est le relèvement de $\gamma \cdot \delta$ issu de $e$. Son extrémité est $\tilde\delta_{e'}(1) = e' \cdot h$, d'où $e \cdot (gh) = (e \cdot g) \cdot h$.

Enfin $(e \cdot g) \cdot g^{-1} = e \cdot 1 = e$, et de même en échangeant $g$ et $g^{-1}$.

(ii) Injectivité. Soit $\alpha$ un lacet de $E$ en $e_0$ tel que $p \circ \alpha \simeq c_{b_0}$, et $G$ une homotopie de $p \circ \alpha$ à $c_{b_0}$. Soit $\tilde G$ son relèvement tel que $\tilde G(0, 0) = e_0$ (Relèvement des homotopies).

Les applications $t \mapsto \tilde G(0, t)$, $t \mapsto \tilde G(1, t)$ et $s \mapsto \tilde G(s, 1)$ relèvent des chemins constants ; un chemin constant en est aussi un relèvement, et elles sont constantes par unicité (Revêtements). Le chemin $s \mapsto \tilde G(s, 0)$ relève $p \circ \alpha$ à partir de $e_0$ : c'est $\alpha$.

Il vient $\tilde G(1, t) = \alpha(1) = e_0$, puis $\tilde G(s, 1) = \tilde G(0, 1) = e_0$ : $\tilde G$ est une homotopie de $\alpha$ au lacet constant $c_{e_0}$ dans $E$.

Image. Si $g = p_*([\alpha])$ pour un lacet $\alpha$ de $E$ en $e_0$, alors $\alpha$ est le relèvement de $p \circ \alpha$ issu de $e_0$, et $e_0 \cdot g = \alpha(1) = e_0$. Réciproquement, si $e_0 \cdot [\gamma] = e_0$, le relèvement $\tilde\gamma_{e_0}$ est un lacet en $e_0$, et $[\gamma] = p_*([\tilde\gamma_{e_0}])$.

(iii) Soit $\alpha$ un chemin de $E$ de $e_0$ à $e$. Le chemin $\gamma = p \circ \alpha$ est un lacet en $b_0$, puisque ses deux extrémités sont dans $F$, et son relèvement issu de $e_0$ est $\alpha$. Donc $e_0 \cdot [\gamma] = \alpha(1) = e$.