Espaces semi-localement simplement connexes

Le mot « semi-localement » rappelle que l'homotopie se fait dans $X$ tout entier, et non dans $V$. Un espace dont chaque point a un voisinage simplement connexe l'est, en particulier tout ouvert de $\mathbb R^n$, dont les boules sont convexes.

L'exemple classique d'espace qui ne l'est pas est la boucle d'oreille hawaïenne $\mathcal H$, réunion dans $\mathbb R^2$ des cercles $C_k$ de centre $(\frac1k, 0)$ et de rayon $\frac1k$, pour $k \geqslant 1$. Deux d'entre eux ne se rencontrent qu'en $0$, puisque $x^2 + y^2 = \frac{2x}k = \frac{2x}j$ force $x = 0$, puis $y = 0$. Chaque $C_k$ est homéomorphe au cercle unité par une homothétie et une translation, donc à $\mathbb R/\mathbb Z$ (dernière remarque du nœud Groupe fondamental du cercle et troisième remarque du nœud Bouquet de deux cercles).

L'application $r_k : \mathcal H \to C_k$, égale à l'identité sur $C_k$ et à $0$ sur les autres cercles, est continue, par recollement (Chemins, (i)), appliqué aux deux fermés $C_k$ et $\bigcup_{j \neq k} C_j$, sur lesquels les deux formules coïncident en $0$. D'une part $C_k$, fermé et borné dans $\mathbb R^2$, est compact, donc fermé dans $\mathcal H$. D'autre part la réunion des $C_j$ pour $j \neq k$ est fermée dans $\mathcal H$ : un point $z \neq 0$ de $C_k$, de norme $\delta$, est à distance au moins $\frac\delta2$ des cercles $C_j$ tels que $\frac2j \leqslant \frac\delta2$, contenus dans la boule fermée de rayon $\frac\delta2$, et hors des autres $C_j$, $j \neq k$, qui sont en nombre fini et compacts, donc fermés. Il a donc un voisinage qui ne rencontre aucun $C_j$, $j \neq k$, et le complémentaire de leur réunion dans $\mathcal H$, à savoir $C_k \setminus \{0\}$, est ouvert.

Soit $h_k : \mathbb R/\mathbb Z \to C_k$ un homéomorphisme tel que $h_k(p(0)) = 0$ (on compose au besoin par une translation de $\mathbb R/\mathbb Z$), et $\lambda_k = h_k \circ \alpha$, où $\alpha(s) = p(s)$ : c'est un lacet en $0$, dont la classe dans $\pi_1(C_k, 0)$ n'est pas triviale, puisque $(h_k)_*$ est un isomorphisme (Fonctorialité, (i)) et que $[\alpha]$ est de degré $1$. Comme $r_k \circ \lambda_k = \lambda_k$, une homotopie de $\lambda_k$ au lacet constant dans $\mathcal H$ donnerait, composée avec $r_k$, une homotopie dans $C_k$ : $\lambda_k$ n'est donc pas homotope au lacet constant dans $\mathcal H$. Or tout voisinage de $0$ contient un cercle $C_k$, puisque $C_k$ est dans la boule de rayon $\frac2k$. Ainsi $\mathcal H$ n'est pas semi-localement simplement connexe, et, par (i), il n'a aucun revêtement simplement connexe.

Le point (ii) est fait sans choix : on ne choisit pas un bon ouvert par point, on constate que l'ensemble de tous les bons ouverts est une base. C'est sous cette forme qu'il servira à définir la topologie du revêtement universel au nœud suivant.