Proposition 7Classification des revêtements

Construction d'un revêtement par les classes de chemins

Dans ce nœud et les suivants, $B$ est connexe, localement connexe par arcs, donc connexe par arcs (Connexité locale par arcs, (i)), et semi-localement simplement connexe. On fixe $b_0 \in B$ et un sous-groupe $H$ de ${\pi_1}(B, b_0)$ .

Soit $\mathcal C$ l'ensemble des chemins de $B$ issus de $b_0$ , partie de l'ensemble des applications de $I$ dans $B$ . Pour $\gamma, \gamma' \in \mathcal C$ , on pose $\begin{aligned} \gamma \sim_H \gamma' \iff\ &\gamma(1) = \gamma'(1) \\ &\text{et } [\gamma \cdot \bar\gamma'] \in H. \end{aligned}$ On note $X_H = \mathcal C/\!\sim_H$ l'ensemble quotient, $[\gamma]_H$ la classe de $\gamma$ , et $p_H([\gamma]_H) = \gamma(1)$ .

Pour un bon ouvert $U$ (Semi-locale simple connexité) et un point $\xi = [\gamma]_H$ tel que $\gamma(1) \in U$ , on pose $\begin{aligned} U_\xi = \{[\gamma \cdot \eta]_H :\ &\eta \text{ chemin de } U \\ &\text{issu de } \gamma(1)\}. \end{aligned}$ On note $\mathcal B_H$ l'ensemble de tous ces ensembles $U_\xi$ , pour tous les bons ouverts $U$ et tous les points $\xi$ au-dessus de $U$ .

Énoncé

(i) $\sim_H$ est une relation d'équivalence ; deux chemins homotopes sont équivalents ; si $\gamma \sim_H \gamma'$ et si $\eta$ est un chemin issu de $\gamma(1)$ , alors $\gamma \cdot \eta \sim_H \gamma' \cdot \eta$ . L'application $p_H$ est bien définie, et $U_\xi$ ne dépend pas du représentant $\gamma$ de $\xi$ .

(ii) Si $\xi' \in U_\xi$ , alors $U_{\xi'} = U_\xi$ . La restriction de $p_H$ à $U_\xi$ est une bijection sur $U$ .

(iii) $\mathcal B_H$ est la base d'une topologie sur $X_H$ .

(iv) Pour cette topologie, $p_H$ est un revêtement. Chaque bon ouvert $U$ est uniformément couvert : $p_H^{-1}(U)$ est la réunion des $U_\xi$ , pour $\xi \in p_H^{-1}(U)$ , et deux d'entre eux sont égaux ou disjoints.

Démonstration

Les règles de calcul sur les classes de chemins quelconques (Fonctorialité, (ii)) permettent d'oublier les parenthèses et de simplifier les allers-retours $\bar\eta \cdot \eta$ à homotopie près.

(i) Équivalence. On a $[\gamma \cdot \bar\gamma] = 1 \in H$ . L'inverse de $[\gamma \cdot \bar\gamma']$ est $[\gamma' \cdot \bar\gamma]$ , et $[\gamma \cdot \bar\gamma''] = [\gamma \cdot \bar\gamma'][\gamma' \cdot \bar\gamma''] ;$ $H$ étant un sous-groupe, on obtient la symétrie et la transitivité.

Si $\gamma \simeq \gamma'$ , alors $\gamma \cdot \bar\gamma' \simeq \gamma \cdot \bar\gamma \simeq c_{b_0}$ , de classe $1 \in H$ . Enfin $(\gamma \cdot \eta) \cdot \overline{(\gamma' \cdot \eta)} = \gamma \cdot \eta \cdot \bar\eta \cdot \bar\gamma' \simeq \gamma \cdot \bar\gamma'.$ Les deux dernières affirmations s'en déduisent.

(ii) Soit $\xi' = [\gamma \cdot \eta_0]_H$ , avec $\eta_0$ dans $U$ . Pour $\eta$ dans $U$ issu de $\eta_0(1)$ , on a $[(\gamma \cdot \eta_0) \cdot \eta]_H = [\gamma \cdot (\eta_0 \cdot \eta)]_H$ , et $\eta_0 \cdot \eta$ est dans $U$ : $U_{\xi'} \subset U_\xi$ . Inversement, $[\gamma \cdot \eta]_H = [(\gamma \cdot \eta_0) \cdot (\bar\eta_0 \cdot \eta)]_H$ appartient à $U_{\xi'}$ .

L'application $p_H$ envoie $U_\xi$ dans $U$ . Elle est surjective, car $U$ est connexe par arcs : tout $x \in U$ est l'extrémité d'un chemin $\eta$ de $U$ issu de $\gamma(1)$ . Elle est injective : si $\eta$ et $\eta'$ sont deux chemins de $U$ de $\gamma(1)$ au même point, ils sont homotopes dans $B$ (Semi-locale simple connexité, (iii)), donc $\gamma \cdot \eta \simeq \gamma \cdot \eta'$ , et ces deux chemins sont équivalents par (i).

Le point

\xi = [\gamma]_H

est un chemin issu de

b_0

, à équivalence près, dont l'extrémité est dans le bon ouvert

U

, en bleu. Les points de

U_\xi

sont les classes des chemins

\gamma \cdot \eta

, où

\eta

, en rouge, reste dans

U

; ils sont au-dessus des points de

U

, chacun une fois. Le chemin

\gamma'

, qui passe de l'autre côté du trou gris, aboutit au même point de

U

, mais pour

H = \{1\}

sa classe est un autre point de la fibre :

U_{[\gamma']}

est un autre feuillet.

(iii) Recouvrement. Tout point $\xi$ de $X_H$ appartient à $U_\xi$ , où $U$ est un bon ouvert contenant $p_H(\xi)$ , qui existe par le point (ii) du nœud Semi-locale simple connexité, appliqué à $W = B$ .

Intersections. Si $\xi \in U_{\xi_1} \cap V_{\xi_2}$ , alors $U_{\xi_1} = U_\xi$ et $V_{\xi_2} = V_\xi$ par (ii). Soit $W$ un bon ouvert tel que $p_H(\xi) \in W \subset U \cap V$ , qui existe par le même point. Un chemin de $W$ est un chemin de $U$ et de $V$ , donc $\xi \in W_\xi \subset U_\xi \cap V_\xi$ . Le critère des bases (Bases d'une topologie) s'applique.

(iv) Continuité. Soit $O$ un ouvert de $B$ et $\xi \in p_H^{-1}(O)$ . Il existe un bon ouvert $W$ tel que $p_H(\xi) \in W \subset O$ , et $W_\xi \subset p_H^{-1}(O)$ , puisque $p_H(W_\xi) = W$ par (ii). Ainsi $p_H^{-1}(O)$ est la réunion de tous les éléments de la base qu'il contient, donc ouvert.

Ouverture. L'image d'un élément $W_\zeta$ de la base est le bon ouvert $W$ , par (ii). Les images des ouverts, réunions d'éléments de la base, sont donc ouvertes.

Feuillets. Soit $U$ un bon ouvert. Tout point $\xi$ de $p_H^{-1}(U)$ appartient à $U_\xi$ , contenu dans $p_H^{-1}(U)$ . Si $\zeta \in U_\xi \cap U_{\xi'}$ , alors $U_\xi = U_\zeta = U_{\xi'}$ par (ii) : deux de ces ensembles sont égaux ou disjoints. Chacun est ouvert, et $p_H$ en est une bijection continue et ouverte sur $U$ , donc un homéomorphisme.

Surjectivité. Tout point $b$ de $B$ est l'extrémité d'un chemin issu de $b_0$ , puisque $B$ est connexe par arcs. Enfin les bons ouverts recouvrent $B$ , et $p_H$ est un revêtement.

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Remarque

La construction ne choisit rien. Ni un voisinage autour de chaque point, puisque la base est formée de tous les $U_\xi$ possibles ; ni un chemin dans chaque classe, puisque $X_H$ est un ensemble quotient ; ni les feuillets au-dessus de $U$ , qui sont les ensembles $U_\xi$ eux-mêmes, deux à deux égaux ou disjoints, sans qu'il faille les indexer. Elle reste dans $\mathsf{ZF}$ , comme la construction de $\pi_1$ (Groupe fondamental).

Remarque

L'hypothèse de semi-locale simple connexité fournit les bons ouverts (Semi-locale simple connexité, (ii)), et c'est dans l'injectivité de $p_H$ sur $U_\xi$ qu'elle intervient de façon essentielle. Sans elle, deux chemins de $U$ de mêmes extrémités pourraient donner deux points distincts de $U_\xi$ au-dessus du même point de $U$ : l'ensemble $U_\xi$ ne serait plus un feuillet.

Repose sur

Espaces semi-localement simplement connexes

Sert à

Existence du revêtement universel