Point fixe de Brouwer et invariance de la dimension

(i) Pour $n = 1$, $D^1 = [-1, 1]$ est connexe et $S^0 = \{-1, 1\}$ ne l'est pas, alors qu'une rétraction serait continue et surjective.

Pour $n \geqslant 2$, si $r \circ \iota = \mathrm{id}_{S^{n-1}}$, alors $r_* \circ \iota_*$ est l'identité de ${H_{n-1}}(S^{n-1}) \cong {\mathbb Z}$ ; mais elle se factorise par $H_{n-1}(D^n) = 0$, la boule étant convexe (Invariance par homotopie), ce qui est absurde.

(ii) Supposons $f(x) \neq x$ pour tout $x$. Posons $u = x - f(x) \neq 0$, et soit $t(x) \geqslant 0$ la plus grande racine du trinôme $$\begin{aligned} &\|x + tu\|^2 - 1 \\ &\quad = \|u\|^2t^2 + 2\langle x, u\rangle t + \|x\|^2 - 1, \end{aligned}$$ où $\langle x, u \rangle = \sum x_iu_i$ ; sa valeur en $t = 0$ est $\leqslant 0$, donc $$\begin{aligned} t(x) = {}&\frac{1}{\|u\|^2}\Big(-\langle x, u\rangle \\ &+ \sqrt{\langle x, u \rangle^2 + \|u\|^2(1 - \|x\|^2)}\Big), \end{aligned}$$ qui dépend continûment de $x$.

Alors $r(x) = x + t(x)u$ est continue, de norme $1$, et $r(x) = x$ si $\|x\| = 1$, puisque $t(x) = 0$ en ce cas. En effet, si $\|x\| = 1$, l'inégalité de Cauchy-Schwarz (Produit scalaire, (iii)) donne $$\begin{aligned} \langle x, u \rangle &= 1 - \langle x, f(x) \rangle \\ &\geqslant 1 - \|f(x)\| \geqslant 0, \end{aligned}$$ de sorte que la racine carrée, égale à $|\langle x, u \rangle|$, vaut $\langle x, u \rangle$, et que $t(x) = 0$. C'est l'étape décisive : si l'on avait $\langle x, u \rangle < 0$, la plus grande racine serait $-2\langle x, u \rangle/\|u\|^2 > 0$. Ainsi $r$ est une rétraction, ce que (i) interdit.

(iii) Un homéomorphisme $h : \mathbb R^m \to \mathbb R^n$ induit un homéomorphisme de $\mathbb R^m \setminus \{0\}$ sur $\mathbb R^n \setminus \{h(0)\}$, et ce dernier est homéomorphe à $\mathbb R^n \setminus \{0\}$ par translation.

Or $\mathbb R^k \setminus \{0\}$ a l'homologie de $S^{k-1}$, par la rétraction $x \mapsto x/\|x\|$ et l'homotopie $$F(x, t) = \frac{x}{(1 - t) + t\|x\|}.$$

Les homologies de $S^{m-1}$ et de $S^{n-1}$ diffèrent si $m \neq n$, par Homologie des sphères : si $m, n \geqslant 2$, le degré où $H$ est non nul, hors du degré $0$, les distingue ; si l'un vaut $1$, le nombre de composantes connexes par arcs, $2$ ou $1$, les distingue.