Invariance du domaine

(i) Si $n = 0$, $\mathbb R^0$ est un point, $U$ est vide ou égal à ce point, et $f$ est l'identité ou l'application vide : tout est ouvert. Soit $n \geqslant 1$, $x \in U$, et $r > 0$ tel que la boule fermée $D = \bar B(x, r)$ soit contenue dans $U$. Notons $B = B(x, r)$ la boule ouverte et $\Sigma_0 = D \setminus B$ la sphère de centre $x$ et de rayon $r$. L'application $y \mapsto x + ry$ envoie $D^n$ sur $D$ et $S^{n-1}$ sur $\Sigma_0$.

Soit $\psi : \mathbb R^n \to S^n \setminus \{N\}$ l'inverse de la projection stéréographique (Calottes, (i)), et $g = \psi \circ f$, continue et injective. Alors $g(D)$ est homéomorphe à $D^n$, donc à $I^n$, et $g(\Sigma_0)$ est une sphère topologique de dimension $n - 1$ (Bijection d'un compact).

Par injectivité de $g$, $S^n \setminus g(\Sigma_0)$ est la réunion disjointe de $S^n \setminus g(D)$ et de $g(B)$. Le premier ensemble est non vide et connexe par arcs (Complémentaire d'une cellule) ; le second aussi, image de la boule convexe $B$.

Or $S^n \setminus g(\Sigma_0)$ a exactement deux composantes connexes par arcs, qui sont ouvertes (Jordan-Brouwer dans Sⁿ). Chacun des deux ensembles, connexe par arcs, est contenu dans une composante ; s'ils l'étaient dans la même, l'autre composante serait vide. Ce sont donc les deux composantes, et $g(B)$ est ouvert dans $S^n$.

Ainsi $f(B) = \psi^{-1}(g(B))$ est ouvert dans $\mathbb R^n$, contient $f(x)$ et est contenu dans $f(U)$ : $f(U)$ est voisinage de chacun de ses points, donc ouvert.

Appliqué à la restriction de $f$ à un ouvert quelconque $U' \subset U$, ce raisonnement montre que $f(U')$ est ouvert : la réciproque $f^{-1} : f(U) \to U$ est continue.

(ii) Supposons $m < n$, et soit $f$ un homéomorphisme d'un ouvert non vide $V$ de $\mathbb R^n$ sur un ouvert de $\mathbb R^m$. Avec $j(y) = (y, 0)$, de $\mathbb R^m$ dans $\mathbb R^n$, l'application $j \circ f : V \to \mathbb R^n$ est continue et injective ; son image est ouverte par (i) et non vide, donc contient une boule $B(z, \eta)$.

Mais le point $z + \frac\eta2(0, \dots, 0, 1)$ de cette boule a une dernière coordonnée non nulle, alors que l'image est contenue dans $\mathbb R^m \times \{0\}$ : contradiction. Le cas $m > n$ s'en déduit en échangeant les rôles.