Séparation de Jordan-Brouwer dans la sphère

(i) Deux composantes ouvertes. Le nombre de composantes est donné par Complémentaire d'une sphère, (ii). Elles sont ouvertes, et $\operatorname{Fr} U$ et $\operatorname{Fr} V$ sont contenues dans $\Sigma$, par Ouverts de Sⁿ appliqué à l'ouvert $S^n \setminus \Sigma$.

Tout point de $\Sigma$ est adhérent à $U$. Soit $h : S^{n-1} \to \Sigma$ un homéomorphisme, $x \in \Sigma$, $s = h^{-1}(x)$, et $W$ un ouvert de $S^n$ contenant $x$. Il s'agit de montrer que $W$ rencontre $U$.

L'ouvert $h^{-1}(W \cap \Sigma)$ de $S^{n-1}$ contient $s$, donc une calotte $C(s, \varepsilon)$, avec $0 < \varepsilon < 2$. Son complémentaire $K$ dans $S^{n-1}$ est une calotte fermée, homéomorphe à $I^{n-1}$ (Calottes, (ii)), et $h(K)$ aussi.

Par Complémentaire d'une cellule, $S^n \setminus h(K)$ est connexe par arcs. Il contient $U$ et $V$ ; soit $\gamma : I \to S^n \setminus h(K)$ un chemin d'un point $u \in U$ à un point $v \in V$.

L'ensemble $T = \gamma^{-1}(S^n \setminus U)$ est fermé dans $I$, puisque $U$ est ouvert, donc compact ; il contient $1$, et il a un plus petit élément $t^*$ (Compacts de ℝ, (ii)). Comme $\gamma(0) \in U$, $t^* > 0$, et $\gamma([0, t^*[) \subset U$.

Le fermé $\gamma^{-1}(\overline U)$ contient $[0, t^*[$, donc $t^*$, qui lui est adhérent, et $\gamma(t^*) \in \overline U \setminus U = \operatorname{Fr} U \subset \Sigma$. Comme $\gamma(t^*) \notin h(K)$, il appartient à $h(C(s, \varepsilon)) \subset W$. Ainsi $W$ est un voisinage d'un point adhérent à $U$, et il rencontre $U$ (Intérieur, adhérence, (iii)).

Donc $\Sigma \subset \overline U$, et, comme $\Sigma \cap U = \varnothing$, $\Sigma \subset \operatorname{Fr} U$. Le même raisonnement, où l'on échange $U$ et $V$, donne $\Sigma \subset \operatorname{Fr} V$.

(ii) Soit $x \in \Sigma \setminus F$, et $s = h^{-1}(x)$. L'ouvert $h^{-1}(S^n \setminus F)$ contient une calotte $C(s, \varepsilon)$, de complémentaire $K$ ; ainsi $F \subset h(K)$, et l'on vient de voir que $S^n \setminus h(K)$ est connexe par arcs. Cette partie de $S^n \setminus F$ contient $U$ et $V$, qui sont donc reliées dans $S^n \setminus F$.

Reste à relier un point $y \in \Sigma \setminus F$ à l'une de ces composantes. L'ouvert $S^n \setminus F$ contient une calotte $C(y, \eta)$, connexe par arcs (Calottes, (iii)), qui rencontre $U$ puisque $y \in \operatorname{Fr} U$ : $y$ est relié à un point de $U$ dans $S^n \setminus F$.