Proposition 2Théorème de Jordan-Brouwer

Composantes connexes par arcs des ouverts de la sphère

La frontière d'une partie $A$ d'un espace topologique est ${\operatorname{Fr}} A = \overline A \setminus \mathring A$ , ensemble des points adhérents à $A$ qui ne sont pas intérieurs à $A$ (Intérieur, adhérence). On la note ainsi pour ne pas la confondre avec le bord $\partial$ des chaînes.

Énoncé

Soit $n \geqslant 1$ et $O$ un ouvert de ${S^n}$ . Chaque composante connexe par arcs $W$ de $O$ est ouverte dans $S^n$ , et $\overline W \cap O = W$ . Par suite, $\operatorname{Fr} W \subset S^n \setminus O$ .

Démonstration

La topologie de $S^n$ est celle de la distance induite par $\mathbb R^{n+1}$ (Topologie d'une distance, (iii)). Pour $x \in W$ , l'ouvert $O$ contient donc une calotte ouverte $C(x, \varepsilon)$ , avec $0 < \varepsilon < 2$ . Elle est connexe par arcs (Calottes, (iii)) et contient $x$ : tous ses points sont reliés à $x$ par un chemin dans $O$ , et $C(x, \varepsilon) \subset W$ . Donc $W$ est ouverte.

Soit $y \in O \cap \overline W$ , et $C(y, \varepsilon) \subset O$ une calotte. C'est un voisinage de $y$ ; elle rencontre donc $W$ (Intérieur, adhérence, (iii)) en un point $w$ , et $y$ est relié à $w$ par un chemin dans $C(y, \varepsilon) \subset O$ : $y \in W$ .

Ainsi $\overline W \setminus W \subset S^n \setminus O$ . Comme $W$ est ouverte, $\mathring W = W$ , et $\operatorname{Fr} W = \overline W \setminus W$ .

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Remarque

L'énoncé est faux pour un espace quelconque. L'adhérence dans le plan du graphe de $x \mapsto \sin\frac1x$ sur $]0, 1]$ , où $\sin$ est le sinus de l'analyse réelle (Cosinus et sinus sur ℝ), a deux composantes connexes par arcs (Chemins), et le segment vertical ajouté au graphe n'est pas ouvert dans cet espace : tout voisinage d'un de ses points rencontre le graphe. Ce qui sauve les ouverts de la sphère, c'est que chaque point y a une calotte connexe par arcs pour voisinage.

Repose sur

Calottes de la sphère, boules et cubes

Sert à

Séparation de Jordan-Brouwer dans la sphère