Homologie d'un point et homologie de degré 0

(i) Pour chaque $n$, il y a un seul simplexe singulier $\sigma_n$, l'application constante, et, par la définition du bord (Homologie singulière), $$\partial\sigma_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i\sigma_{n-1}$$ vaut $\sigma_{n-1}$ si $n \geqslant 2$ est pair, et $0$ si $n$ est impair. Le complexe est $$\cdots \xrightarrow{\mathrm{id}} \mathbb Z \xrightarrow{0} \mathbb Z \xrightarrow{\mathrm{id}} \mathbb Z \xrightarrow{0} \mathbb Z \to 0,$$ d'homologie $\mathbb Z$ en degré $0$ et nulle ailleurs.

(ii) La relation « être reliés par un chemin » est une relation d'équivalence (Chemins) ; soit $\Pi$ l'ensemble de ses classes.

Un simplexe de dimension $0$ est un point, et $\Delta_1$ est homéomorphe à $[0, 1]$ par $s \mapsto (1 - s, s)$ : un simplexe de dimension $1$ est un chemin $\gamma$, de bord $\gamma(1) - \gamma(0)$. Le morphisme $\varepsilon : C_0(X) \to \mathbb Z^{(\Pi)}$ qui envoie un point sur sa classe est surjectif et nul sur les bords.

Réciproquement, soit $c = \sum n_x x$ tel que $\varepsilon(c) = 0$, c'est-à-dire que la somme des $n_x$ soit nulle dans chaque classe. Dans chaque classe rencontrée par les points de $c$, en nombre fini, fixons l'un de ces points $x_0$ et des chemins $\gamma_x$ de $x_0$ à chacun des autres ; alors $$c = \partial\Big(\sum n_x\gamma_x\Big).$$ Donc $\operatorname{Ker}\varepsilon = B_0$, et $H_0(X) = C_0(X)/B_0 \cong \mathbb Z^{(\Pi)}$.