Théorème de Hurewicz en degré 1

Notons $G = \pi_1(X, x_0)$. Les points (i) à (v) cités sont ceux du nœud Chemins et chaînes. Une concaténation de plus de deux chemins se lit de gauche à droite ; par (i) et par la compatibilité de la concaténation à l'homotopie (Homotopie, (iii)), le parenthésage n'importe pas à homotopie près.

(i) Si $\gamma \simeq \gamma'$, alors $\hat\gamma \equiv \hat\gamma'$ par (v) : la classe $[\hat\gamma]$ ne dépend que de la classe de $\gamma$. Par (iv), $$h([\gamma][\delta]) = [\widehat{\gamma \cdot \delta}] = [\hat\gamma] + [\hat\delta].$$ Comme $H_1(X)$ est commutatif, $D(G) \subset \operatorname{Ker} h$ (Groupe dérivé, (iii)).

(ii) Soit $z$ un cycle de dimension $1$. Notons $S$ l'ensemble fini des simplexes singuliers où son coefficient $n_\sigma$ n'est pas nul, de sorte que $$z = \sum_{\sigma \in S} n_\sigma\,\sigma$$ (Sommes finies). Pour $\sigma \in S$, soit $\gamma_\sigma$ le chemin tel que $\sigma = \hat\gamma_\sigma$, d'origine $a_\sigma = \sigma(e_0)$ et d'extrémité $b_\sigma = \sigma(e_1)$.

L'ensemble $F$ des points $a_\sigma$ et $b_\sigma$ est fini. Pour chaque $x \in F$, fixons un chemin $\lambda_x$ de $x_0$ à $x$, ce que permet la connexité par arcs, et formons le lacet en $x_0$ $$\ell_\sigma = \lambda_{a_\sigma} \cdot \gamma_\sigma \cdot \bar\lambda_{b_\sigma}.$$

Par (iv), $\hat\ell_\sigma \equiv \hat\lambda_{a_\sigma} + \sigma - \hat\lambda_{b_\sigma}$. Soit $\Lambda$ le morphisme de $\mathbb Z^{(F)}$, sous-groupe de $C_0(X)$, dans $C_1(X)$ qui envoie $x$ sur $\hat\lambda_x$ (Complexes de chaînes, (i)). Comme $z$ est un cycle, (ii) donne $$\partial z = \sum_{\sigma \in S} n_\sigma\,(b_\sigma - a_\sigma) = 0,$$ élément de $\mathbb Z^{(F)}$, d'image nulle par $\Lambda$. Il vient $$\sum_{\sigma \in S} n_\sigma\,\hat\ell_\sigma \equiv z - \Lambda(\partial z) = z.$$ Ainsi $[z] = \sum n_\sigma\,h([\ell_\sigma])$ appartient à l'image de $h$, qui est un sous-groupe (Morphisme, (iii)).

(iii) Par (i), il reste à montrer que $\operatorname{Ker} h \subset D(G)$. Soit $\gamma$ un lacet en $x_0$ tel que $\hat\gamma$ soit un bord : $$\hat\gamma = \partial\Big(\sum_{\tau \in T} m_\tau\,\tau\Big),$$ où $T$ est un ensemble fini de simplexes de dimension $2$.

Une partie finie. Soit $S$ l'ensemble fini formé de $\hat\gamma$ et des faces $\tau \circ \delta_i$, pour $\tau \in T$ et $i \in \{0, 1, 2\}$, et $F$ l'ensemble fini formé de $x_0$ et des sommets $\sigma(e_0)$, $\sigma(e_1)$ des éléments $\sigma$ de $S$. Fixons des chemins $\lambda_x$ de $x_0$ à $x$, pour $x \in F$, avec $\lambda_{x_0} = c_{x_0}$.

Le morphisme $\Phi$. Soit $A = G^{\mathrm{ab}}$, commutatif (Groupe dérivé, (ii)), noté additivement, et $p : G \to A$ la projection. Pour $\sigma \in S$, d'origine $a$ et d'extrémité $b$, on pose $\ell_\sigma = \lambda_a \cdot \gamma_\sigma \cdot \bar\lambda_b$ comme en (ii). Le morphisme $$\Phi : \mathbb Z^{(S)} \to A, \qquad \Phi(\sigma) = p([\ell_\sigma]),$$ est défini sur le sous-groupe $\mathbb Z^{(S)}$ de $C_1(X)$ (Complexes de chaînes, (i)).

$\Phi$ s'annule sur les bords des $\tau$. Soit $\tau \in T$, de sommets $v_k$ et de chemins $\alpha$, $\beta$, $\varepsilon$, et $\lambda_k = \lambda_{v_k}$. Par (i), puis par (iii), $$\begin{aligned} [\ell_{\tau \circ \delta_2}][\ell_{\tau \circ \delta_0}] &= [\lambda_0 \cdot \alpha \cdot \bar\lambda_1 \cdot \lambda_1 \cdot \beta \cdot \bar\lambda_2] \\ &= [\lambda_0 \cdot \alpha \cdot \beta \cdot \bar\lambda_2] \\ &= [\lambda_0 \cdot \varepsilon \cdot \bar\lambda_2] = [\ell_{\tau \circ \delta_1}]. \end{aligned}$$ Comme $p$ est un morphisme vers un groupe commutatif, et que $\partial\tau = \tau \circ \delta_0 - \tau \circ \delta_1 + \tau \circ \delta_2$ appartient à $\mathbb Z^{(S)}$, $$\Phi(\partial\tau) = p\big([\ell_{\tau \circ \delta_2}][\ell_{\tau \circ \delta_0}][\ell_{\tau \circ \delta_1}]^{-1}\big) = 0.$$

Conclusion. Comme $\lambda_{x_0} = c_{x_0}$, on a $\ell_{\hat\gamma} = c_{x_0} \cdot \gamma \cdot c_{x_0} \simeq \gamma$, et $\Phi(\hat\gamma) = p([\gamma])$. L'égalité $\hat\gamma = \sum m_\tau\,\partial\tau$ a lieu dans $\mathbb Z^{(S)}$, donc $$p([\gamma]) = \Phi(\hat\gamma) = \sum_{\tau \in T} m_\tau\,\Phi(\partial\tau) = 0,$$ et $[\gamma]$ appartient au noyau de $p$, qui est $D(G)$ (Groupe quotient).

(iv) Le morphisme $h$ est surjectif, de noyau $D(G)$ ; on applique le théorème d'isomorphisme (Théorème d'isomorphisme).