Chemins vus comme chaînes de dimension 1

(i) Les homotopies du nœud Groupe fondamental n'emploient pas que les chemins soient des lacets, comme l'observe déjà le nœud Fonctorialité, (ii). L'associativité et les neutres résultent des mêmes reparamétrages (Homotopie, (ii)).

Pour l'inverse, l'application définie par $H(s, t) = f(2s(1 - t))$ si $s \leqslant \frac12$ et $H(s, t) = f((2 - 2s)(1 - t))$ si $s \geqslant \frac12$, continue par recollement (Chemins, (i) et (ii)), puisque les deux formules valent $f(1 - t)$ en $s = \frac12$, vérifie $H(s, 0) = (f \cdot \bar f)(s)$, $H(s, 1) = f(0) = x$ et $H(0, t) = H(1, t) = x$ : c'est une homotopie de $f \cdot \bar f$ à $c_x$. Appliqué à $\bar f$, chemin de $y$ à $x$ dont l'inverse est $f$, cela donne $\bar f \cdot f \simeq c_y$.

Enfin, pour $s \leqslant \frac12$, $(f \cdot g)(1 - s) = g(1 - 2s) = \bar g(2s)$ ; pour $s \geqslant \frac12$, $(f \cdot g)(1 - s) = f(2 - 2s) = \bar f(2s - 1)$. C'est la définition de $\bar g \cdot \bar f$.

(ii) Le simplexe standard $\Delta_0$ est réduit au point $1$ de $\mathbb R$ ; la face $\delta_0$ l'envoie sur $(0, 1)$, la face $\delta_1$ sur $(1, 0)$. Donc $$\partial\hat\gamma = \hat\gamma(0, 1) - \hat\gamma(1, 0) = \gamma(1) - \gamma(0).$$

(iii) La face $\delta_2$ envoie $(t_0, t_1)$ sur $(t_0, t_1, 0)$. Comme $t_0 = 1 - t_1$ sur $\Delta_1$, on a $\tau \circ \delta_2(t_0, t_1) = \alpha(t_1)$, c'est-à-dire $\tau \circ \delta_2 = \hat\alpha$ ; de même $\tau \circ \delta_0 = \hat\beta$ et $\tau \circ \delta_1 = \hat\varepsilon$. La formule du bord donne $$\begin{aligned} \partial\tau &= \tau \circ \delta_0 - \tau \circ \delta_1 + \tau \circ \delta_2 \\ &= \hat\beta - \hat\varepsilon + \hat\alpha. \end{aligned}$$

Soit $\mu$ le chemin de $\Delta_2$ défini par $\mu(s) = (1 - 2s, 2s, 0)$ si $s \leqslant \frac12$ et $\mu(s) = (0, 2 - 2s, 2s - 1)$ si $s \geqslant \frac12$, continu par recollement (Chemins, (i)), et $\nu(s) = (1 - s, 0, s)$. Alors $\alpha \cdot \beta = \tau \circ \mu$ et $\varepsilon = \tau \circ \nu$.

Les coordonnées de $G(s, t) = (1 - t)\mu(s) + t\nu(s)$ sont positives et de somme $1$ : $G$ est à valeurs dans $\Delta_2$, et elle est continue (même nœud, (ii), et Topologie produit). Elle vérifie $G(s, 0) = \mu(s)$, $G(s, 1) = \nu(s)$, $G(0, t) = e_0$ et $G(1, t) = e_2$. Donc $\tau \circ G$ est une homotopie de $\alpha \cdot \beta$ à $\varepsilon$.

(iv) On applique (iii) à trois simplexes de dimension $2$.

Le chemin constant. Pour le simplexe constant égal à $x$, les trois chemins $\alpha$, $\beta$, $\varepsilon$ sont égaux à $c_x$, et $\partial\tau = \hat c_x - \hat c_x + \hat c_x = \hat c_x$.

L'inverse. Pour $\tau(t_0, t_1, t_2) = \gamma(t_1)$, on trouve $\alpha = \gamma$, $\beta = \bar\gamma$ et $\varepsilon = c_{\gamma(0)}$. Donc $$\hat\gamma + \hat{\bar\gamma} = \partial\tau + \hat c_{\gamma(0)} \equiv 0.$$

La concaténation. Pour $\tau(t_0, t_1, t_2) = (\gamma \cdot \delta)\big(t_2 + \tfrac12 t_1\big)$, bien défini puisque $0 \leqslant t_2 + \frac12 t_1 \leqslant t_1 + t_2 \leqslant 1$, et continu, on trouve $$\begin{aligned} \alpha(s) &= (\gamma \cdot \delta)\big(\tfrac s2\big) = \gamma(s), \\ \beta(s) &= (\gamma \cdot \delta)\big(\tfrac{1 + s}2\big) = \delta(s), \\ \varepsilon(s) &= (\gamma \cdot \delta)(s). \end{aligned}$$ Donc $\partial\tau = \hat\delta - \widehat{\gamma \cdot \delta} + \hat\gamma$.

(v) Soit $H$ une homotopie de $\gamma$ à $\delta$, chemins de $x$ à $y$ (Homotopie), et $\kappa(s) = H(s, s)$. On découpe le carré $I \times I$ en deux triangles, comme pour l'opérateur prisme (Invariance par homotopie), et l'on pose $$\begin{aligned} \tau_1(t) &= H(t_1 + t_2, t_2), \\ \tau_2(t) &= H(t_2, t_1 + t_2), \end{aligned}$$ continus puisque $(t_1 + t_2, t_2)$ et $(t_2, t_1 + t_2)$ restent dans $I \times I$.

Pour $\tau_1$, on trouve $\alpha = \gamma$, $\beta(s) = H(1, s) = y$ et $\varepsilon = \kappa$ ; pour $\tau_2$, $\alpha(s) = H(0, s) = x$, $\beta = \delta$ et $\varepsilon = \kappa$. Par (iii), $$\partial(\tau_1 - \tau_2) = \hat\gamma - \hat\delta + \hat c_y - \hat c_x,$$ et (iv) donne $\hat\gamma \equiv \hat\delta$.