ChapitreHomologie

Théorème de Hurewicz en degré 1

Un lacet est aussi un simplexe singulier de dimension $1$, et c'est un cycle. Le chapitre montre que cette observation définit un morphisme du groupe fondamental $\pi_1(X, x_0)$ dans $H_1(X)$, et que, pour un espace connexe par arcs, ce morphisme est surjectif, de noyau le groupe dérivé, engendré par les commutateurs : le premier groupe d'homologie est le groupe fondamental rendu commutatif. La concaténation des chemins devient une somme, parce qu'un triangle singulier a pour bord la différence entre un chemin concaténé et ses deux morceaux.

La démonstration du noyau associe à chaque simplexe de dimension $2$ le lacet qui fait le tour de son bord, ramené au point de base, et vérifie qu'il est trivial, ce qui permet de définir sur les chaînes un morphisme à valeurs dans l'abélianisé. Les chemins qui ramènent au point de base ne sont fixés que pour les points, en nombre fini, de la chaîne étudiée : aucune forme du choix n'intervient. Les exemples retrouvent $H_1(S^1) \cong \mathbb Z$, avec un générateur explicite, et donnent $\mathbb Z^2$ pour le bouquet de deux cercles et pour le tore, $\mathbb Z/2\mathbb Z$ pour $\mathbb RP^n$, $n \geqslant 2$.