Groupe dérivé et abélianisé

(i) Un morphisme respecte les produits et les inverses (Morphisme, (i)), donc $$f([x, y]) = [f(x), f(y)].$$ Ainsi $f^{-1}(D(G'))$ est un sous-groupe de $G$ (même nœud, (iii)) qui contient tous les commutateurs de $G$ ; il contient donc $D(G)$, plus petit sous-groupe qui les contienne, ce qui signifie $f(D(G)) \subset D(G')$.

Pour $g \in G$, la conjugaison par $g$, $x \mapsto gxg^{-1}$, est un morphisme de $G$ dans lui-même, puisque $gxg^{-1}\,gyg^{-1} = gxyg^{-1}$. Ce qui précède donne $gD(G)g^{-1} \subset D(G)$ : le sous-groupe $D(G)$ est distingué.

Si $f$ est un isomorphisme, sa réciproque est un morphisme (même nœud, (ii)), et $f^{-1}(D(G')) \subset D(G)$ ; d'où $f(D(G)) = D(G')$. Le morphisme $\pi' \circ f$, composé de $f$ et de la projection $\pi' : G' \to G'^{\mathrm{ab}}$, est alors surjectif, de noyau $f^{-1}(D(G')) = D(G)$. Le théorème d'isomorphisme (Théorème d'isomorphisme) en déduit un isomorphisme de $G^{\mathrm{ab}}$ sur $G'^{\mathrm{ab}}$.

(ii) Soit $\pi : G \to G/N$ la projection, dont le noyau est $N$ (Groupe quotient). Pour $x, y \in G$, l'égalité $\pi(x)\pi(y) = \pi(y)\pi(x)$ équivaut à $$\begin{aligned} \pi([x, y]) &= \pi(x)\pi(y)\pi(x)^{-1}\pi(y)^{-1} \\ &= \pi(e), \end{aligned}$$ c'est-à-dire à $[x, y] \in N$. Le quotient est donc commutatif si et seulement si $N$ contient tous les commutateurs, c'est-à-dire, $N$ étant un sous-groupe, si et seulement si $D(G) \subset N$.

Pour $N = D(G)$, distingué par (i), on obtient que $G^{\mathrm{ab}}$ est commutatif. Si $G$ est commutatif, tous les commutateurs valent $e$, et le sous-groupe $\{e\}$ les contient : $D(G) = \{e\}$.

(iii) Dans un groupe commutatif, $f(x)f(y)f(x)^{-1}f(y)^{-1} = e$ : le sous-groupe $\operatorname{Ker} f$ contient tous les commutateurs, donc $D(G)$. Le théorème d'isomorphisme (Théorème d'isomorphisme) fournit l'unique morphisme $\bar f$.

(iv) Notons $F = F(a, b)$, et $N$ le sous-groupe distingué engendré par $r = aba^{-1}b^{-1}$, dont la classe est le commutateur $\big[\,[a], [b]\,\big]$ (Groupe libre, (i)). Comme $D(F)$ est distingué, par (i), et contient $r$, il contient $N$, qui est le plus petit sous-groupe distingué contenant $r$ (Présentations, (i)).

Inversement, le quotient $F/N = \langle a, b \mid aba^{-1}b^{-1} \rangle$ est isomorphe à $\mathbb Z^2$ (même nœud, (iii)), qui est commutatif ; par (ii), $D(F) \subset N$. Donc $D(F) = N$, et $F^{\mathrm{ab}} = F/N$ est isomorphe à $\mathbb Z^2$ par l'isomorphisme du même nœud, (iii), qui envoie les classes de $a$ et de $b$ sur $(1, 0)$ et $(0, 1)$.