Conjugaison des compléments quand N est résoluble

(i) Un automorphisme $\alpha$ de $N$ vérifie $\alpha([x, y]) = [\alpha(x), \alpha(y)]$, et tout commutateur s'écrit $[x, y] = \alpha([\alpha^{-1}(x), \alpha^{-1}(y)])$. Le sous-groupe $\alpha(D(N))$ contient donc tous les commutateurs, et $D(N) \subset \alpha(D(N))$ ; le même argument pour $\alpha^{-1}$ donne $D(N) \subset \alpha^{-1}(D(N))$, puis l'égalité. Si $N$ est distingué dans $G$, la conjugaison par $g \in G$ restreinte à $N$ en est un automorphisme, donc $gD(N)g^{-1} = D(N)$.

Soit $N = N_0 \supset N_1 \supset \cdots \supset N_r = \{e\}$ une suite de résolubilité de $N$ (Groupes résolubles), et $i$ le plus petit indice tel que $N_i \neq N$, qui existe puisque $N_r \neq N$. Alors $N_{i-1} = N$, le quotient $N/N_i$ est abélien, et $N_i$ contient tous les commutateurs (même nœud, (i)) : $D(N) \subset N_i \neq N$. Enfin $D(N)$ est résoluble, comme tout sous-groupe d'un groupe résoluble (Résolubilité, facteurs, (i)).

(ii) Récurrence forte sur $|N|$. Si $N$ est abélien, ce qui couvre $N = \{e\}$, c'est le point (ii) du nœud Schur-Zassenhaus abélien.

Sinon, soit $D = D(N)$. Il n'est pas réduit à $\{e\}$, sans quoi tous les commutateurs seraient triviaux et $N$ abélien, et $D \neq N$ par (i). Soient $H$ et $K$ deux compléments de $N$, d'ordre $m = |G/N|$ (Schur-Zassenhaus, (i)).

Passage au quotient. Soit $\pi : G \to G/D$, distingué par (i). Le sous-groupe $N/D$ est distingué dans $G/D$, abélien (Groupes résolubles, (i)), d'ordre divisant $|N|$ et d'indice $m$ (Isomorphismes, correspondance, (iv)). Comme $H \cap D \subset H \cap N = \{e\}$, le sous-groupe $\pi(H) \cong H/(H \cap D)$ est d'ordre $m$ (même nœud, (ii)), donc un complément de $N/D$ (Schur-Zassenhaus, (i)) ; de même $\pi(K)$.

Par le cas abélien, il existe $g \in G$ tel que $\pi(g)\pi(H)\pi(g)^{-1} = \pi(K)$. Posons $H' = gHg^{-1}$ : alors $\pi(H') = \pi(K)$, et, en prenant les images réciproques (Isomorphismes, correspondance, (iii)), $H'D = KD$, puisque l'image réciproque de $\pi(X)$ est $XD$ pour tout sous-groupe $X$.

Récurrence. Soit $J = KD$. Le sous-groupe $D$ y est distingué, résoluble, d'ordre divisant $|N|$, et $|J| = |K| \cdot |D|$ puisque $K \cap D = \{e\}$, donc l'indice de $D$ dans $J$ est $m$, premier à $|D|$. Les sous-groupes $H'$ et $K$ de $J$ sont d'ordre $m$, donc des compléments de $D$ dans $J$ (même nœud, (i)).

Comme $|D| < |N|$, l'hypothèse de récurrence donne $j \in J$ tel que $jH'j^{-1} = K$, et $(jg)H(jg)^{-1} = K$.