Groupes résolubles

(i) $G/N$ est abélien si et seulement si $xyN = yxN$ pour tous $x, y$, c'est-à-dire $(yx)^{-1}xy = x^{-1}y^{-1}xy \in N$ pour tous $x, y$.

En appliquant cette condition à $x^{-1}$ et $y^{-1}$, qui parcourent $G$ quand $x$ et $y$ le parcourent, elle équivaut à $xyx^{-1}y^{-1} = [x, y] \in N$ pour tous $x, y$.

(ii) Si $\pi : G \to G/N$ est la projection et $(G_i)$ une suite de résolubilité de $G$, les $\pi(G_i)$ forment une suite de résolubilité de $G/N$. D'abord $\pi(G_i)$ est distingué dans $\pi(G_{i-1})$, puisque $$\begin{aligned} \pi(g)\pi(G_i)\pi(g)^{-1} &= \pi(gG_ig^{-1}) \\ &= \pi(G_i) \end{aligned}$$ pour $g \in G_{i-1}$.

Ensuite le morphisme surjectif $G_{i-1} \to \pi(G_{i-1})/\pi(G_i)$, composé de $\pi$ et de la projection, s'annule sur $G_i$ ; il passe au quotient en un morphisme surjectif de $G_{i-1}/G_i$, abélien, sur $\pi(G_{i-1})/\pi(G_i)$, qui est donc abélien, comme toute image d'un groupe abélien.

(iii) Soit $\pi : G \to G/N$ la surjection canonique, de noyau $N$ (Groupe quotient), et $$G/N = K_0 \supset K_1 \supset \cdots \supset K_s = \{N\}$$ une suite de résolubilité de $G/N$, dont le dernier terme est réduit au neutre $N$ de $G/N$.

Posons $H_i = \pi^{-1}(K_i)$, qui est un sous-groupe de $G$ (Morphisme, (iii)) ; on a $H_0 = G$ et $H_s = \operatorname{Ker} \pi = N$.

Le sous-groupe $H_i$ est distingué dans $H_{i-1}$. En effet, pour $g \in H_{i-1}$ et $h \in H_i$, l'élément $\pi(ghg^{-1}) = \pi(g)\pi(h)\pi(g)^{-1}$ appartient à $K_i$, puisque $\pi(g) \in K_{i-1}$, que $\pi(h) \in K_i$ et que $K_i$ est distingué dans $K_{i-1}$ ; donc $ghg^{-1} \in H_i$.

Le quotient $H_{i-1}/H_i$ est abélien. Par (i), appliqué au groupe $H_{i-1}$, il suffit que $H_i$ contienne les commutateurs $[x, y]$ de deux éléments $x, y$ de $H_{i-1}$. Or $\pi([x, y]) = [\pi(x), \pi(y)]$ est un commutateur de deux éléments de $K_{i-1}$ ; comme $K_{i-1}/K_i$ est abélien, il appartient à $K_i$ par (i), et $[x, y] \in H_i$.

Soit enfin $N = N_0 \supset \cdots \supset N_t = \{e\}$ une suite de résolubilité de $N$. La suite $$\begin{aligned} G &= H_0 \supset \cdots \supset H_s \\ &= N_0 \supset \cdots \supset N_t = \{e\} \end{aligned}$$ a chacun de ses termes distingué dans le précédent, avec des quotients abéliens : c'est une suite de résolubilité de $G$.