Théorie

Cohomologie des groupes

Elle étudie un groupe $G$ qui agit par automorphismes sur un groupe abélien $A$, ce qu'on appelle un G-module, au moyen des groupes de cohomologie ${H^n}(G, A)$, quotients des cocycles par les cobords. Le groupe $H^0$ est formé des invariants ; $H^1$ classe, à conjugaison près, les compléments de $A$ dans le produit semi-direct $A \rtimes G$ ; $H^2$ classe, à équivalence près, les extensions de $G$ par $A$, c'est-à-dire les groupes qui contiennent $A$ comme sous-groupe distingué, de quotient $G$. Elle repose sur les groupes finis : actions, théorèmes de Sylow, produits semi-directs et théorèmes d'isomorphisme.

Le graphe intérieur définit la cohomologie en tout degré, par les cochaînes inhomogènes, mais s'en tient pour l'essentiel aux degrés $0$, $1$ et $2$. Il établit, pour un groupe fini, la suite exacte longue associée à une suite exacte courte de $G$-modules, et la suite d'inflation-restriction en degré $1$. Il montre que l'ordre d'un groupe fini annule sa cohomologie en degré au moins $1$, par un argument de moyenne, et en déduit le théorème de Schur-Zassenhaus : un sous-groupe distingué dont l'ordre est premier à son indice a un complément, et ses compléments sont conjugués lorsqu'il est résoluble.

Aucune forme du choix n'intervient : pour un groupe fini, les relèvements dont on a besoin ne demandent qu'un nombre fini de choix, et pour un groupe infini les extensions sont supposées munies d'une section.