Fonctorialité et morphisme de liaison

(i) On applique $u$ à chaque terme de la formule de $d^nf$ (Cochaînes, cohomologie) : $u$ est additif et $u(g_1x) = g_1u(x)$. Si $d^nf = 0$, alors $d^n(u_*f) = 0$, et $u_*(d^{n-1}f') = d^{n-1}(u_*f')$ est un cobord. L'application $Z^n(G, A) \to H^n(G, B)$, $f \mapsto [u_*f]$, est un morphisme nul sur $B^n(G, A)$ ; elle passe au quotient (Théorème d'isomorphisme). La formule $(v \circ u)_* = v_* \circ u_*$ est l'associativité de la composition.

(ii) L'application $u_*$ est injective, puisque $u$ l'est. On a $v_* \circ u_* = (v \circ u)_* = 0$. Si $v_*b = 0$, chaque valeur $b(x)$ appartient au noyau de $v$, égal à l'image de $u$, et s'écrit $u(a(x))$ pour un unique $a(x) \in A$ : on obtient une cochaîne $a$ telle que $b = u_*a$.

Soit enfin $c \in C^n(G, C)$. L'ensemble $G^n$ est fini, et pour chacun de ses éléments $x$, la fibre $v^{-1}(c(x))$ est non vide, $v$ étant surjectif. On choisit un élément $b(x)$ dans chacune, par récurrence sur une énumération de $G^n$ : ce n'est qu'un nombre fini de choix, et $v_*b = c$.

(iii) On a $v_*(d^nb) = d^n(v_*b) = d^nc = 0$ par (i), donc, par (ii), $d^nb = u_*a$ pour un unique $a \in C^{n+1}(G, A)$. Alors $$u_*(d^{n+1}a) = d^{n+1}(u_*a) = d^{n+1}d^nb = 0,$$ et $d^{n+1}a = 0$ par injectivité de $u_*$ : $a$ est un cocycle.

Indépendance. Soit $c' = c + d^{n-1}\gamma$ un autre cocycle de la même classe, avec $\gamma \in C^{n-1}(G, C)$ (pour $n = 0$, $c' = c$), et $b'$ un relèvement de $c'$. Relevons $\gamma$ en $\beta$ par (ii). Alors $b + d^{n-1}\beta$ relève $c'$, comme $b'$, et leur différence est dans le noyau de $v_*$ : $b' = b + d^{n-1}\beta + u_*\alpha$ avec $\alpha \in C^n(G, A)$.

Il vient $d^nb' = d^nb + u_*(d^n\alpha) = u_*(a + d^n\alpha)$ : le cocycle associé à $b'$ est $a + d^n\alpha$, de même classe que $a$.

Morphisme. Si $b$ et $b_1$ relèvent $c$ et $c_1$, alors $b + b_1$ relève $c + c_1$, et les cocycles associés s'ajoutent.