Théorème 3Cohomologie des groupes

La suite exacte longue de cohomologie

Énoncé

Soit $G$ un groupe fini et $0 \to A \xrightarrow{u} B \xrightarrow{v} C \to 0$ une suite exacte courte de G-modules. La suite $\begin{aligned} 0 &\to A^G \xrightarrow{u_*} B^G \xrightarrow{v_*} C^G \\ &\xrightarrow{\delta} H^1(G, A) \xrightarrow{u_*} H^1(G, B) \\ &\xrightarrow{v_*} H^1(G, C) \xrightarrow{\delta} H^2(G, A) \\ &\xrightarrow{u_*} H^2(G, B) \xrightarrow{v_*} H^2(G, C) \\ &\xrightarrow{\delta} \cdots \end{aligned}$ est une suite exacte : $u_*$ est injectif sur $H^0(G, A) = A^G$ , et, pour tout $n$ , la suite est exacte en ${H^n}(G, B)$ , en $H^n(G, C)$ et en $H^{n+1}(G, A)$ .

Démonstration

Les morphismes $u_*$ , $v_*$ et $\delta$ sont ceux du nœud Morphisme de liaison, dont on reprend les notations ; $H^0 = Z^0$ est le groupe des invariants (Cochaînes, cohomologie, (ii)).

Injectivité en degré $0$ . Sur $A^G$ , $u_*$ est la restriction de $u$ , qui est injectif.

Exactitude en $H^n(G, B)$ . On a $v_* \circ u_* = (v \circ u)_* = 0$ . Soit $b \in Z^n(G, B)$ tel que $[v_*b] = 0$ , c'est-à-dire $v_*b = d^{n-1}\gamma$ avec $\gamma \in C^{n-1}(G, C)$ , et $\gamma = 0$ si $n = 0$ . Relevons $\gamma$ en $\beta \in C^{n-1}(G, B)$ .

Alors $v_*(b - d^{n-1}\beta) = 0$ , donc $b - d^{n-1}\beta = u_*a$ avec $a \in C^n(G, A)$ ; et $u_*(d^na) = d^nb = 0$ , donc $a$ est un cocycle, et $u_*[a] = [b]$ .

Exactitude en $H^n(G, C)$ . Si $c = v_*b$ avec $b$ cocycle, on peut relever $c$ par $b$ lui-même ; alors $d^nb = 0 = u_*0$ , et $\delta[c] = 0$ . Réciproquement, si $\delta[c] = 0$ , le cocycle $a$ tel que $u_*a = d^nb$ s'écrit $a = d^n\alpha$ avec $\alpha \in C^n(G, A)$ .

La cochaîne $b - u_*\alpha$ est alors un cocycle, puisque $d^n(b - u_*\alpha) = u_*a - u_*a = 0$ , et $v_*(b - u_*\alpha) = c$ : $[c] = v_*[b - u_*\alpha]$ .

Exactitude en $H^{n+1}(G, A)$ . On a $u_*\delta[c] = [u_*a] = [d^nb] = 0$ . Réciproquement, si $a \in Z^{n+1}(G, A)$ vérifie $[u_*a] = 0$ , alors $u_*a = d^nb$ avec $b \in C^n(G, B)$ . La cochaîne $c = v_*b$ vérifie $d^nc = v_*(d^nb) = v_*u_*a = 0$ ; c'est un cocycle, que $b$ relève, et $\delta[c] = [a]$ par construction.

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Remarque

Soit $m \geqslant 1$ et $G$ un groupe fini agissant trivialement sur la suite exacte courte $0 \to {\mathbb Z} \xrightarrow{\times m} \mathbb Z \to {\mathbb Z/m\mathbb Z} \to 0$ . Le groupe $H^1(G, \mathbb Z) = \operatorname{Hom}(G, \mathbb Z)$ est nul : l'image d'un élément $g$ d'ordre $k$ vérifie $k\,f(g) = 0$ dans $\mathbb Z$ , donc $f(g) = 0$ .

La suite exacte donne alors $\begin{aligned} 0 &\to H^1(G, \mathbb Z/m\mathbb Z) \xrightarrow{\delta} H^2(G, \mathbb Z) \\ &\xrightarrow{\times m} H^2(G, \mathbb Z). \end{aligned}$ Si $|G| = m$ , la multiplication par $m$ est nulle sur $H^2(G, \mathbb Z)$ (Annulation par l'ordre), et $\delta$ identifie $\operatorname{Hom}(G, \mathbb Z/m\mathbb Z)$ à $H^2(G, \mathbb Z)$ .

Pour $G = \mathbb Z/m\mathbb Z$ , on trouve $H^2(G, \mathbb Z) \cong \mathbb Z/m\mathbb Z$ , ce que confirme pour $m = 2, 3, 4$ un calcul de forme normale de Smith sur les matrices des différentielles. L'image par $\delta$ de l'identité est représentée par le cocycle des retenues : en relevant $\bar g$ en son représentant $g \in \{0, \dots, m - 1\}$ , $d^1$ du relèvement vaut $m$ si $g + h \geqslant m$ et $0$ sinon.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire qu'un morphisme injectif reste injectif en cohomologie. Ce n'est vrai qu'en degré $0$ . Pour $G = \{e, s\}$ agissant trivialement, le morphisme $u : \mathbb Z/2\mathbb Z \to \mathbb Z/4\mathbb Z$ , $\bar a \mapsto \overline{2a}$ , envoie le cocycle normalisé $c(s, s) = \bar 1$ , de classe non nulle (Extensions et H², remarque), sur le cocycle $u_*c(s, s) = \bar 2$ , qui est le cobord $d^1b$ pour $b(e) = \bar 0$ et $b(s) = \bar 1$ . L'extension $\mathbb Z/4\mathbb Z$ de $\mathbb Z/2\mathbb Z$ par $\mathbb Z/2\mathbb Z$ devient scindée quand on agrandit $A$ .

Repose sur

Fonctorialité et morphisme de liaison

Sert à

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