L'ordre du groupe annule la cohomologie

(i) Écrivons la relation $(d^nf)(g_1, \dots, g_n, h) = 0$ (Cochaînes, cohomologie) et sommons-la sur $h \in G$. Le premier terme donne $g_1\,b(g_2, \dots, g_n)$, l'action de $g_1$ étant additive.

Pour $1 \leqslant i \leqslant n - 1$, le terme qui remplace $g_i, g_{i+1}$ par $g_ig_{i+1}$ donne $(-1)^i\,b(g_1, \dots, g_ig_{i+1}, \dots, g_n)$.

Le terme $i = n$ est $(-1)^n f(g_1, \dots, g_{n-1}, g_nh)$ ; comme $h \mapsto g_nh$ est une bijection de $G$, sa somme vaut $(-1)^n\,b(g_1, \dots, g_{n-1})$. Le dernier terme, $(-1)^{n+1}f(g_1, \dots, g_n)$, ne dépend pas de $h$, et sa somme vaut $(-1)^{n+1}m\,f(g_1, \dots, g_n)$.

Les trois premières contributions forment exactement $(d^{n-1}b)(g_1, \dots, g_n)$, d'où $$d^{n-1}b + (-1)^{n+1}m f = 0,$$ c'est-à-dire $mf = (-1)^n\,d^{n-1}b$. Ainsi $mf$ est un cobord, et $m[f] = [mf] = 0$.

(ii) Soit $\mu : a \mapsto ma$. Il commute à l'action, $g(ma) = m(ga)$, et sa réciproque $\mu^{-1}$ aussi, puisque $\mu(g\,\mu^{-1}(a)) = g\,a$. Pour $f \in Z^n(G, A)$, la cochaîne $f' = \mu^{-1} \circ f$ est un cocycle, car $d^n(\mu^{-1} \circ f) = \mu^{-1} \circ d^nf$, $\mu^{-1}$ étant additif et compatible à l'action.

Par (i), $f = mf' = (-1)^n\,d^{n-1}b'$, où $b'$ est la cochaîne associée à $f'$ : $f$ est un cobord.

(iii) Soit $k = |A|$, premier à $m$, et $uk + vm = 1$ une relation de Bézout (PGCD, Bézout). Tout $a \in A$ vérifie $ka = 0$ (Groupes cycliques, (i)), donc $a = vm\,a = m(va)$ : la multiplication par $m$ est surjective, et elle est injective, puisque $ma = 0$ entraîne $a = v(ma) = 0$. On conclut par (ii).