Théorème 1Représentations des groupes finis

Théorème de Maschke

On dit que $V$ est somme directe des sous-espaces $W_1, \dots, W_k$ , et l'on écrit $V = W_1 \oplus \cdots \oplus W_k$ , si $V = W_1 \oplus V'$ avec $V'$ somme directe de $W_2, \dots, W_k$ , la somme directe d'un seul sous-espace $W_1$ étant $W_1$ lui-même. Tout vecteur de $V$ s'écrit alors de manière unique $w_1 + \cdots + w_k$ avec $w_i \in W_i$ , et $\dim V = \sum_i \dim W_i$ (Théorème du rang).

L'entier $n \cdot 1_K$ est défini au nœud Représentations. Sur ${\mathbb C}$ , qui contient ${\mathbb N}$ , on a $n \cdot 1 = n \neq 0$ pour tout $n \geqslant 1$ .

Énoncé

Soit $(V, \rho)$ une représentation du groupe fini $G$ sur le corps $K$ , et supposons $|G| \cdot 1_K \neq 0$ .

(i) Tout sous-espace stable $W$ de $V$ a un supplémentaire stable.

(ii) Si $V \neq \{0\}$ , $V$ est somme directe d'un nombre fini de sous-espaces stables sur lesquels les sous-représentations sont irréductibles.

En particulier, ces deux énoncés valent pour toute représentation complexe.

Démonstration

(i) Complétons une base de $W$ en une base de $V$ (Dimension, (iii)) : les vecteurs ajoutés engendrent un supplémentaire $W'$ de $W$ . Soit $p$ le projecteur sur $W$ parallèlement à $W'$ (Sommes directes, (ii)). Notons $N = |G| \cdot 1_K$ , qui est inversible, et posons $q = N^{-1} \sum_{g \in G} \rho(g) \circ p \circ \rho(g)^{-1}.$

L'image de $q$ est contenue dans $W$ . Pour $x \in V$ , $p(\rho(g)^{-1}x)$ appartient à $W$ , donc aussi $\rho(g)p(\rho(g)^{-1}x)$ , $W$ étant stable.

$q$ fixe $W$ . Pour $w \in W$ , $\rho(g)^{-1}w = \rho(g^{-1})w$ appartient à $W$ et $p$ le fixe : chacun des $|G|$ termes vaut $w$ , et $q(w) = N^{-1}N\,w = w$ .

Par suite $q \circ q = q$ et $\operatorname{Im} q = W$ , et $V = W \oplus \operatorname{Ker} q$ (Sommes directes, (iii)).

$q$ est un morphisme. Pour $h \in G$ , l'application $g \mapsto hg$ étant une bijection de $G$ , $\begin{aligned} &\rho(h) \circ q \circ \rho(h)^{-1} \\ &\quad = N^{-1} \sum_g \rho(hg) \circ p \circ \rho(hg)^{-1} \\ &\quad = q. \end{aligned}$ Son noyau est donc stable (Représentations, (i)) : c'est un supplémentaire stable de $W$ .

(ii) Par récurrence sur $\dim V \geqslant 1$ . Si $V$ est irréductible, il suffit de prendre $k = 1$ . Sinon, il a un sous-espace stable $W$ avec $\{0\} \neq W \neq V$ , et (i) fournit un supplémentaire stable $W'$ ; tous deux sont non nuls et de dimension strictement inférieure à $\dim V$ .

L'hypothèse de récurrence, appliquée aux sous-représentations $W$ et $W'$ , les écrit comme sommes directes $W = W_1 \oplus \cdots \oplus W_a$ et $W' = W'_1 \oplus \cdots \oplus W'_b$ de sous-espaces stables irréductibles, qui sont aussi stables dans $V$ .

Par récurrence sur $a$ , $V = W_1 \oplus (W_2 \oplus \cdots \oplus W_a \oplus W')$ : en effet $V = W \oplus W'$ , et tout vecteur de $V$ s'écrit de manière unique $w_1 + (w_2 + \cdots + w_a + w')$ avec $w_i \in W_i$ et $w' \in W'$ , ce qui donne une somme directe de deux sous-espaces (Sommes directes, (i)).

Ainsi $V = W_1 \oplus \cdots \oplus W_a \oplus W'_1 \oplus \cdots \oplus W'_b$ . Seules des bases finies interviennent, et aucune forme du choix.

Enfin, sur $\mathbb C$ , $|G| \cdot 1 = |G| \neq 0$ .

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Remarque

L'hypothèse sur $|G|$ est indispensable.

Soit $\ell$ premier, $K = {\mathbb Z/\ell\mathbb Z}$ , où $\ell \cdot 1_K = 0$ , et $G = \mathbb Z/\ell\mathbb Z$ . Comme $\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a + b \\ 0 & 1 \end{pmatrix},$ l'application $\rho(\bar k) = \begin{pmatrix} 1 & \bar k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ est une représentation de degré $2$ , bien définie puisque la classe $\bar k$ ne dépend que de $k$ modulo $\ell$ .

Une droite stable est engendrée par un vecteur propre de $\rho(\bar 1)$ , dont la seule valeur propre est $1$ , de sous-espace propre la droite $Ke_1$ . Celle-ci est donc la seule droite stable, et elle n'a pas de supplémentaire stable.

Le plan

(\mathbb Z/3\mathbb Z)^2

a neuf points et quatre droites passant par l'origine. L'application

(x, y) \mapsto (x + y, y)

, image de

\bar 1

, déplace chaque point le long de sa rangée horizontale. Elle fixe la droite

y = 0

, en rouge, et fait tourner les trois autres, en bleu :

x = 0

va sur

y = x

, qui va sur

y = 2x

, qui revient sur

x = 0

. Aucune d'elles ne peut servir de supplémentaire stable.

Remarque

L'argument est une moyenne sur le groupe, et c'est la finitude de $G$ qui permet de la former. Pour le groupe infini $\mathbb Z$ , agissant sur $\mathbb C^2$ par $k \mapsto \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , la droite $\mathbb Ce_1$ est encore stable sans supplémentaire stable. Pour un groupe compact, la moyenne se fait par l'intégrale contre la mesure de Haar (Groupes topologiques), et le théorème subsiste pour les représentations continues, ce qui est admis ici.

Remarque

Le théorème porte le nom de Heinrich Maschke, qui l'a démontré pour les groupes finis de substitutions linéaires à coefficients complexes dans « Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftreten, intransitiv sind » (Math. Ann. 52, 1899, p. 363-368), après un cas particulier paru l'année précédente (Math. Ann. 50, 1898, p. 492-498).

Repose sur

Représentations, sous-représentations, morphismes

Sert à

Relations d'orthogonalité des caractères