Théorème 2Représentations des groupes finis

Relations d'orthogonalité des caractères

Sur l'espace $\mathbb C^G$ des fonctions de $G$ dans ${\mathbb C}$ , on pose $\langle \varphi, \psi \rangle = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \varphi(g)\,\overline{\psi(g)}.$

Cette expression est linéaire en $\varphi$ , vérifie $\langle \psi, \varphi \rangle = \overline{\langle \varphi, \psi \rangle}$ , et $\langle \varphi, \varphi \rangle = \frac{1}{|G|}\sum_g |\varphi(g)|^2$ est un réel strictement positif si $\varphi \neq 0$ (Conjugué, module).

Énoncé

(i) Pour deux représentations $V$ et $V'$ , $\langle \chi_{V'}, \chi_V \rangle = \dim \operatorname{Hom}_G(V, V')$ . Si $V$ et $V'$ sont irréductibles, $\langle \chi_V, \chi_{V'} \rangle$ vaut $1$ si elles sont isomorphes et $0$ sinon.

(ii) Multiplicités. Si $V = W_1 \oplus \cdots \oplus W_k$ avec des sous-représentations $W_i$ irréductibles, alors, pour toute représentation irréductible $W$ , le nombre des indices $i$ tels que $W_i \cong W$ vaut $\langle \chi_V, \chi_W \rangle$ . Il ne dépend pas de la décomposition : c'est la multiplicité de $W$ dans $V$ .

(iii) Deux représentations qui ont le même caractère sont isomorphes.

(iv) $V$ est irréductible si et seulement si $\langle \chi_V, \chi_V \rangle = 1$ .

Démonstration

(i) La première égalité est Invariants, (iii). Pour $V$ et $V'$ irréductibles, c'est le lemme de Schur (Schur, (iii), où le théorème de d'Alembert-Gauss est admis), et la valeur, $0$ ou $1$ , est réelle, donc égale à sa conjuguée $\langle \chi_V, \chi_{V'} \rangle$ .

(ii) Par Caractères, (ii), et Représentations, (ii), appliqués de proche en proche à la définition de la somme directe, $\chi_V = \sum_i \chi_{W_i}$ . La linéarité en la première variable et (i) donnent $\begin{aligned} \langle \chi_V, \chi_W \rangle &= \sum_i \langle \chi_{W_i}, \chi_W \rangle \\ &= |\{i : W_i \cong W\}|. \end{aligned}$

(iii) Soient $V$ et $V'$ de même caractère. Si $\chi_V(e) = \dim V = 0$ , les deux sont nuls. Sinon, écrivons-les comme sommes directes d'irréductibles par le théorème de Maschke (Maschke, (ii)), $V = W_1 \oplus \cdots \oplus W_k$ et $V' = W'_1 \oplus \cdots \oplus W'_{k'}$ .

Par (ii), chaque classe d'isomorphisme de représentations irréductibles apparaît le même nombre de fois parmi les $W_i$ et parmi les $W'_j$ ; en particulier $k = k'$ , et il existe une bijection $\tau$ de $\{1, \dots, k\}$ sur lui-même telle que $W_i \cong W'_{\tau(i)}$ pour chaque $i$ .

L'application qui envoie $w_1 + \cdots + w_k$ sur $\sum_i \varphi_i(w_i)$ , où $\varphi_i : W_i \to W'_{\tau(i)}$ est un isomorphisme, est un isomorphisme de $V$ sur $V'$ : il est bijectif par unicité des écritures, et respecte chaque $\rho(g)$ terme à terme.

(iv) Regroupons les $W_i$ d'une décomposition de $V \neq \{0\}$ par classes d'isomorphisme : $s$ classes deux à deux distinctes, de représentants $U_1, \dots, U_s$ et de multiplicités $m_1, \dots, m_s \geqslant 1$ . Alors $\chi_V = \sum_j m_j\chi_{U_j}$ , et (i) donne $\langle \chi_V, \chi_V \rangle = \sum_{j=1}^s m_j^2.$

Cette somme vaut $1$ si et seulement si $s = 1$ et $m_1 = 1$ , c'est-à-dire $k = 1$ et $V = W_1$ irréductible. Pour $V = \{0\}$ , $\langle \chi_V, \chi_V \rangle = 0$ .

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Remarque

Pour le plan $\{x + y + z = 0\}$ de $\mathfrak S_3$ , de caractère $2$ , $0$ , $-1$ sur les classes à $1$ , $3$ et $2$ éléments, on trouve $\langle \chi, \chi \rangle = \frac{4 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 1}{6} = 1 :$ le plan est irréductible. Pour $\mathbb C^3$ entier, de caractère $3$ , $1$ , $0$ , on trouve $\frac{9 + 3}{6} = 2 = 1^2 + 1^2$ : deux constituants irréductibles non isomorphes, la droite triviale et le plan.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que les sous-espaces d'une décomposition sont uniques. Seules les multiplicités le sont. Pour $G$ agissant trivialement sur $\mathbb C^2$ , tout couple de droites distinctes fournit une décomposition en deux représentations triviales : il y en a une infinité, toutes de multiplicité $2$ pour la représentation triviale.

Remarque

Les caractères irréductibles se comportent comme une famille orthonormée d'un espace hermitien, et la multiplicité $\langle \chi_V, \chi_W \rangle$ est la coordonnée de $\chi_V$ sur $\chi_W$ . Pour $G = \mathbb Z/n\mathbb Z$ , ce sont les fonctions $\bar k \mapsto \zeta^{jk}$ , où $\zeta$ est une racine primitive $n$ -ième de l'unité (Caractères linéaires), et les relations d'orthogonalité sont celles de la transformée de Fourier discrète, version finie des bases hilbertiennes de l'analyse de Fourier.

Repose sur

Théorème de Maschke Lemme de Schur Invariants et moyenne sur le groupe

Sert à

La représentation régulière et la somme des carrés des degrés