Théorème 3Représentations des groupes finis

La représentation régulière et la somme des carrés des degrés

Énoncé

(i) Toute représentation irréductible $W$ de $G$ apparaît dans la représentation régulière avec la multiplicité $\dim W$ .

(ii) Il n'y a qu'un nombre fini de classes d'isomorphisme de représentations irréductibles de $G$ . Si $W_1, \dots, W_r$ en sont des représentants, de degrés $d_1, \dots, d_r$ et de caractères $\chi_1, \dots, \chi_r$ , alors $\chi_{\mathrm{reg}} = \sum_i d_i\chi_i$ , d'où $\sum_{i=1}^r d_i^2 = |G|$ et, pour tout $g \neq e$ , $\sum_{i=1}^r d_i\,\chi_i(g) = 0.$

Démonstration

(i) Le caractère régulier vaut $|G|$ en $e$ et $0$ ailleurs (Caractères, (v)) ; donc $\langle \chi_{\mathrm{reg}}, \chi_W \rangle = \frac{1}{|G|}\,|G|\,\overline{\chi_W(e)} = \dim W,$ et l'on conclut par Orthogonalité, (ii), qui repose sur le lemme de Schur, où le théorème de d'Alembert-Gauss est admis.

(ii) Fixons une décomposition $\mathbb C^G = U_1 \oplus \cdots \oplus U_k$ en irréductibles (Maschke, (ii)). Par (i), toute représentation irréductible $W$ , de multiplicité $\dim W \geqslant 1$ , est isomorphe à l'un des $U_j$ : les classes d'isomorphisme sont parmi celles des $U_j$ , en nombre fini. On prend pour $W_i$ le premier $U_j$ de chaque classe.

En regroupant les $U_j$ par classes, $\chi_{\mathrm{reg}} = \sum_i d_i\chi_i$ par (i). L'évaluation en $e$ donne $|G| = \sum_i d_i \cdot d_i$ , et l'évaluation en $g \neq e$ donne $0 = \sum_i d_i\chi_i(g)$ .

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Remarque

Pour $\mathfrak S_3$ , la représentation triviale, la signature et le plan $\{x + y + z = 0\}$ sont irréductibles et deux à deux non isomorphes, leurs caractères étant distincts. Comme $1^2 + 1^2 + 2^2 = 6 = |\mathfrak S_3|$ , il n'y en a pas d'autre : une quatrième classe ajouterait au moins $1$ à la somme.

Remarque

Un théorème plus fin, dû à Frobenius (« Über die Primfactoren der Gruppendeterminante », 1896, §12), affirme que chaque degré $d_i$ divise $|G|$ ; il est admis ici.

La difficulté contournée est arithmétique. Il faut savoir que les sommes et les produits d'entiers algébriques, racines de polynômes unitaires à coefficients entiers, sont encore des entiers algébriques, ce que démontre l'argument du déterminant sur un ${\mathbb Z}$ -module de type fini.

Il faut ensuite que les $\chi_i(g)$ et leurs conjugués en soient, comme sommes de racines de l'unité, valeurs propres de $\rho(g)$ , qui vérifie $\rho(g)^m = \mathrm{id}$ si $g$ est d'ordre $m$ , et que $\frac{|C|\chi_i(g)}{d_i}$ en soit un pour toute classe $C$ de représentant $g$ .

Enfin $\frac{|G|}{d_i} = \sum_{C} \frac{|C|\chi_i(g_C)}{d_i}\,\overline{\chi_i(g_C)},$ rationnel et entier algébrique, est un entier. Rien de cela n'est un ancêtre de ce chapitre.

Remarque

Les caractères ont aussi des conséquences sur la structure des groupes. Burnside a démontré dans « On groups of order $p^\alpha q^\beta$ » (Proc. London Math. Soc. (2) 1, 1904, p. 388-392) que tout groupe d'ordre $p^aq^b$ , avec $p$ et $q$ premiers, est résoluble, par un argument d'intégralité de cette nature.

Ce théorème, admis ici, donnerait d'un coup les ordres $12$ , $24$ , $36$ , $48$ et $56$ du nœud Ordres < 60, mais pas l'ordre $30$ ; des démonstrations sans caractères n'ont été trouvées qu'entre 1970 et 1973 (Goldschmidt, Bender, Matsuyama).

Repose sur

Relations d'orthogonalité des caractères

Sert à

Les caractères irréductibles, base des fonctions centrales