Lemme 2Représentations des groupes finis

Invariants et moyenne sur le groupe

Pour une représentation complexe $(V, \rho)$ , le sous-espace des invariants est $V^G = \{x \in V : \rho(g)x = x \text{ pour tout } g\}$ .

Pour deux représentations $(V, \rho)$ et $(V', \rho')$ , on munit l'espace ${\mathcal L}(V, V')$ des applications $\sigma(g)(f) = \rho'(g) \circ f \circ \rho(g)^{-1}.$

Énoncé

(i) L'endomorphisme $p = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \rho(g)$ est un projecteur d'image $V^G$ , et $\dim V^G = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \chi_V(g).$

(ii) $(\mathcal L(V, V'), \sigma)$ est une représentation, dont les invariants sont les éléments de $\operatorname{Hom}_G(V, V')$ , et dont le caractère est $g \mapsto \overline{\chi_V(g)}\,\chi_{V'}(g)$ .

(iii) Par suite, $\begin{aligned} &\dim \operatorname{Hom}_G(V, V') \\ &\quad = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \chi_{V'}(g)\,\overline{\chi_V(g)}. \end{aligned}$

Démonstration

(i) Pour $h \in G$ , $\rho(h) \circ p = \frac{1}{|G|}\sum_g \rho(hg) = p$ , $g \mapsto hg$ étant une bijection : l'image de $p$ est contenue dans $V^G$ . Pour $x \in V^G$ , chaque $\rho(g)x$ vaut $x$ , et $p(x) = x$ . Donc $p \circ p = p$ et $\operatorname{Im} p = V^G$ .

Par Sommes directes, (iii), $V = V^G \oplus \operatorname{Ker} p$ . Dans une base formée d'une base de $V^G$ , à $r$ éléments, et d'une base de $\operatorname{Ker} p$ , la matrice de $p$ est diagonale, de coefficients $1$ ( $r$ fois) puis $0$ : $\operatorname{tr} p = r = \dim V^G$ .

D'autre part, la trace d'un endomorphisme est celle de sa matrice, qui dépend linéairement de lui (Matrices, (i), et Trace, (i)) : $\operatorname{tr} p = \frac{1}{|G|}\sum_g \chi_V(g)$ .

(ii) Chaque $\sigma(g)$ est linéaire en $f$ , $\sigma(e) = \mathrm{id}$ , et $\begin{aligned} \sigma(g)\sigma(h)(f) &= \rho'(g)\rho'(h) f \rho(h)^{-1}\rho(g)^{-1} \\ &= \sigma(gh)(f) ; \end{aligned}$ donc $\sigma(g)$ est bijective, de réciproque $\sigma(g^{-1})$ , et $\sigma$ est un morphisme. L'égalité $\sigma(g)(f) = f$ pour tout $g$ s'écrit $\rho'(g) \circ f = f \circ \rho(g)$ : les invariants sont les morphismes.

Pour le caractère, fixons des bases de $V$ et $V'$ , de dimensions $d$ et $d'$ , et soient $A$ et $B$ les matrices de $\rho(g)$ et $\rho'(g)$ , et $C = A^{-1}$ .

Par Matrices, (i) et (ii), $\sigma(g)$ devient l'application $F \mapsto BFC$ de $\mathcal M_{d',d}(\mathbb C)$ .

On en calcule la trace dans la base des matrices élémentaires : $E_{ij}$ , pour $1 \leqslant i \leqslant d'$ et $1 \leqslant j \leqslant d$ , a pour seul coefficient non nul un $1$ en position $(i, j)$ , et ces matrices forment une base de $\mathcal M_{d',d}(\mathbb C)$ , toute matrice s'écrivant de manière unique $\sum_{i,j} f_{ij}E_{ij}$ (Familles libres, bases).

Le coefficient d'indice $(k, l)$ de $BE_{ij}C$ est $b_{ki}c_{jl}$ ; la coordonnée de $BE_{ij}C$ sur $E_{ij}$ est donc $b_{ii}c_{jj}$ , et $\operatorname{tr}\sigma(g) = \sum_{i, j} b_{ii}c_{jj} = \operatorname{tr} B \cdot \operatorname{tr} A^{-1}.$ Or $\operatorname{tr} B = \chi_{V'}(g)$ , et $\operatorname{tr} A^{-1} = \chi_V(g^{-1}) = \overline{\chi_V(g)}$ (Caractères, (iii)).

(iii) On applique (i) à la représentation de (ii).

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Remarque

Pour un caractère linéaire $\lambda$ non trivial, la droite qu'il définit n'a pas d'invariant non nul, et (i) donne $\sum_g \lambda(g) = 0$ . Pour $G = \mathbb Z/3\mathbb Z$ et $\lambda(\bar k) = j^k$ , où $j = \frac{-1 + i\sqrt 3}{2}$ vérifie $j^3 = 1$ et $j \neq 1$ , c'est l'identité $1 + j + j^2 = 0$ .

L'erreur la plus répandue est de croire que la moyenne d'un caractère peut être un nombre complexe quelconque : c'est toujours un entier naturel, la dimension d'un espace.

Remarque

La moyenne sur le groupe est l'unique outil du chapitre. Le théorème de Maschke moyenne un projecteur, la forme hermitienne de Caractères moyenne une forme positive, et (i) moyenne la représentation elle-même ; la trace transforme alors une moyenne d'endomorphismes en une moyenne de nombres, que le seul caractère permet de calculer.

Repose sur

Caractère d'une représentation

Sert à

Relations d'orthogonalité des caractères