Proposition 3Cohomologie des groupes

La suite d'inflation-restriction en degré 1

Soit $A$ un G-module, $N$ un sous-groupe distingué de $G$ et $\pi : G \to G/N$ la surjection canonique. La restriction d'une cochaîne $f : G \to A$ est sa restriction $f|_N$ à $N$ , et l'inflation d'une application $\varphi : G/N \to A^N$ est la composée $\varphi \circ \pi : G \to A$ .

Énoncé

(i) $A^N$ est un sous-module de $A$ , et la formule $(gN) \cdot a = ga$ en fait un $G/N$ -module.

(ii) La restriction envoie $Z^1(G, A)$ dans $Z^1(N, A)$ et $B^1(G, A)$ dans $B^1(N, A)$ ; l'inflation envoie $Z^1(G/N, A^N)$ dans $Z^1(G, A)$ et $B^1(G/N, A^N)$ dans $B^1(G, A)$ . Elles induisent des morphismes $\begin{aligned} \mathrm{res} &: H^1(G, A) \to H^1(N, A), \\ \mathrm{inf} &: H^1(G/N, A^N) \to H^1(G, A). \end{aligned}$

(iii) La suite $\begin{aligned} 0 &\to H^1(G/N, A^N) \xrightarrow{\mathrm{inf}} {H^1}(G, A) \\ &\xrightarrow{\mathrm{res}} H^1(N, A) \end{aligned}$ est exacte : l'inflation est injective, et son image est le noyau de la restriction.

Démonstration

(i) Pour $a \in A^N$ , $g \in G$ et $n \in N$ , on a $n(ga) = g\,(g^{-1}ng)\,a = ga$ , puisque $g^{-1}ng \in N$ : $ga \in A^N$ , qui est un sous-groupe stable (G-modules, (ii)). Si $gN = g'N$ , alors $g' = gn$ avec $n \in N$ , et $g'a = g(na) = ga$ : la formule a un sens, et elle définit une action par morphismes, puisque $(gN)(hN) = ghN$ .

(ii) Les formules de $d^0$ et $d^1$ (Cochaînes, cohomologie) restreintes à $N$ sont celles du groupe $N$ , et, composées avec $\pi$ , celles du groupe $G$ agissant sur $A^N$ à travers $G/N$ . Ces applications sont des morphismes, et l'on passe aux quotients par le théorème d'isomorphisme (Théorème d'isomorphisme).

(iii) Injectivité de l'inflation. Soit $\varphi \in Z^1(G/N, A^N)$ dont l'inflation est un cobord : $\varphi(gN) = gb - b$ pour un $b \in A$ . Pour $n \in N$ , on a $nb - b = \varphi(N) = 0$ (Cochaînes, cohomologie, (iii)), donc $b \in A^N$ , et $\varphi = d^0b$ dans $C^1(G/N, A^N)$ .

La composée est nulle. Pour $n \in N$ , l'inflation de $\varphi$ vaut $\varphi(nN) = \varphi(N) = 0$ .

Le noyau de la restriction est dans l'image de l'inflation. Soit $f \in Z^1(G, A)$ dont la restriction est un cobord : $f(n) = nb - b$ pour $n \in N$ . Le cocycle $f' = f - d^0b$ , de même classe, est nul sur $N$ .

Pour $g \in G$ et $n \in N$ , on a $f'(gn) = f'(g) + g\,f'(n) = f'(g)$ : $f'$ est constant sur chaque classe $gN$ . D'autre part $ng = g(g^{-1}ng)$ , donc $f'(ng) = f'(g)$ , alors que $f'(ng) = f'(n) + n\,f'(g) = n\,f'(g)$ : ainsi $f'(g) \in A^N$ .

La formule $\varphi(gN) = f'(g)$ définit donc une application $\varphi : G/N \to A^N$ , qui est un cocycle, puisque $\varphi(gN\,hN) = f'(gh) = f'(g) + g\,f'(h)$ ; et $[f] = [f'] = \mathrm{inf}[\varphi]$ .

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Remarque

La restriction n'est pas surjective en général. Pour $G = {\mathbb Z/4\mathbb Z}$ , $N = \{\bar 0, \bar 2\}$ et $A = \mathbb Z/2\mathbb Z$ avec l'action triviale, le groupe $H^1(G, A) = \operatorname{Hom}(\mathbb Z/4\mathbb Z, \mathbb Z/2\mathbb Z)$ a deux éléments, et le morphisme non nul $f$ vérifie $f(\bar 2) = 2f(\bar 1) = 0$ : la restriction est nulle, alors que $H^1(N, A)$ a deux éléments. L'exactitude dit ici que tout $H^1(G, A)$ provient de $G/N$ , ce qui est bien le cas.

Remarque

La suite sert de dévissage : si $H^1(G/N, A^N)$ et $H^1(N, A)$ sont nuls, alors $H^1(G, A)$ l'est aussi. Hochschild et Serre l'ont prolongée en degrés supérieurs (« Cohomology of group extensions », Trans. Amer. Math. Soc. 74, 1953, p. 110-134). Pour une extension galoisienne $L/K$ et un corps intermédiaire $M$ galoisien sur $K$ , elle relie les groupes de Galois de $L/K$ , $L/M$ et $M/K$ agissant sur $L^\times$ , dont le corps des invariants sous $\operatorname{Gal}(L/M)$ est $M$ ; le théorème 90 de Hilbert (Hilbert 90) rend les trois groupes nuls.

Repose sur

Cochaînes, cocycles, cobords et groupes de cohomologie

Sert à

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