Théorème 1Théorème 90 de Hilbert et théorie de Kummer

Théorème 90 de Hilbert

Énoncé

Soit $L/K$ une extension galoisienne de groupe $G$ . Alors ${H^1}(G, L^\times) = 1$ . Autrement dit, si une application $f : G \to L^\times$ vérifie $f(\sigma\tau) = f(\sigma)\,\sigma\big(f(\tau)\big)$ pour tous $\sigma, \tau \in G$ , il existe $a \in L^\times$ tel que $f(\sigma) = \frac{\sigma(a)}{a} \quad \text{pour tout } \sigma \in G.$

Démonstration

Les valeurs $f(\tau)$ ne sont pas nulles. Par le point (iii) du nœud Norme et trace, il existe $c \in L$ tel que $b = \sum_{\tau \in G} f(\tau)\,\tau(c)$ ne soit pas nul.

Pour $\sigma \in G$ , la relation de cocycle donne $\sigma(f(\tau)) = f(\sigma)^{-1}f(\sigma\tau)$ , d'où $\begin{aligned} \sigma(b) &= \sum_{\tau \in G} \sigma\big(f(\tau)\big)\,\sigma\tau(c) \\ &= f(\sigma)^{-1}\sum_{\tau \in G} f(\sigma\tau)\,\sigma\tau(c) \\ &= f(\sigma)^{-1}\,b, \end{aligned}$ puisque $\tau \mapsto \sigma\tau$ est une bijection de $G$ . Ainsi $f(\sigma) = b/\sigma(b)$ , et $a = b^{-1}$ convient.

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Remarque

Le théorème doit son nom au Zahlbericht de Hilbert (« Die Theorie der algebraischen Zahlkörper », Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 4, 1897, p. 175-546), dont il est le quatre-vingt-dixième théorème, sous la forme cyclique du nœud Forme cyclique ; un cas particulier remonte à Kummer (J. reine angew. Math. 50, 1855, p. 212-232). La forme générale, pour un groupe de Galois quelconque, est due à Speiser (« Zahlentheoretische Sätze aus der Gruppentheorie », Math. Zeitschrift 5, 1919, p. 1-6), et Noether l'a employée avec profit (« Der Hauptgeschlechtssatz für relativ-galoissche Zahlkörper », Math. Annalen 108, 1933, p. 411-419). C'est d'ailleurs cette forme générale, $H^1(G, L^\times) = 1$ , qu'on appelle elle-même aujourd'hui théorème 90 ; les relations $f(\sigma\tau) = f(\sigma)\,\sigma(f(\tau))$ sont parfois appelées équations de Noether.

Remarque

La démonstration est une moyenne tordue : sans le cocycle, $\sum_\tau \tau(c)$ serait la trace de $c$ , invariante. Le cocycle $f$ pondère chaque conjugué de $c$ , et l'élément $b$ obtenu se transforme sous $\sigma$ par le facteur $f(\sigma)^{-1}$ . Le lemme de Dedekind sert seulement à garantir que cette moyenne n'est pas nulle.

Remarque

Il ne faut pas en déduire que toute la cohomologie de $L^\times$ s'annule. Le groupe $H^2(G, L^\times)$ n'est pas nul en général ; c'est le groupe de Brauer relatif de l'extension, qui classe certaines algèbres simples sur $K$ . Il n'est pas étudié ici.

Repose sur

Action du groupe de Galois sur L et sur son groupe multiplicatif

Sert à

Le théorème 90 pour une extension cyclique