Lemme 1Cohomologie des groupes

L'argument de Frattini

Pour un sous-groupe $P$ d'un groupe $G$ , le normalisateur de $P$ dans $G$ est $N_G(P) = \{g \in G : gPg^{-1} = P\}$ (Sylow).

Énoncé

Soit $G$ un groupe fini, $N$ un sous-groupe distingué de $G$ , $p$ un nombre premier et $P$ un $p$ -sous-groupe de Sylow de $N$ . Alors $G = N\,N_G(P)$ .

Démonstration

Soit $g \in G$ . Comme $N$ est distingué, $gPg^{-1}$ est contenu dans $gNg^{-1} = N$ , et il a le même nombre d'éléments que $P$ : c'est un $p$ -sous-groupe de Sylow de $N$ .

Par le théorème de conjugaison de Sylow appliqué dans $N$ (Sylow, (ii)), il existe $n \in N$ tel que $gPg^{-1} = nPn^{-1}$ . Alors $(n^{-1}g)P(n^{-1}g)^{-1} = P$ , c'est-à-dire $n^{-1}g \in N_G(P)$ , et $g = n\,(n^{-1}g) \in N\,N_G(P)$ .

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Remarque

Dans ${\mathfrak S_4}$ , prenons $N = \mathfrak A_4$ , distingué, et $P$ le $3$ -Sylow engendré par $(1\ 2\ 3)$ . Son normalisateur dans $\mathfrak S_4$ est le sous-groupe à six éléments des permutations qui fixent $4$ , et il rencontre $\mathfrak A_4$ suivant $P$ . Le produit $\mathfrak A_4\,N_G(P)$ a donc $12 \times 6/3 = 24$ éléments, c'est tout $\mathfrak S_4$ .

Le lemme dit ce que signifie ce calcul : la conjugaison des Sylow à l'intérieur de $N$ absorbe tout ce qui est hors de $N$ , sauf le normalisateur.

Remarque

L'hypothèse « $N$ distingué » est indispensable. Dans $\mathfrak S_3$ , le sous-groupe $N = \langle (1\ 2) \rangle$ n'est pas distingué ; il est son propre $2$ -Sylow et son propre normalisateur, et $N\,N_G(N) = N$ n'est pas $\mathfrak S_3$ .

Repose sur

Groupes finis

Sert à

Théorème de Schur-Zassenhaus