Invariance de l'homologie par homotopie

(i) On emploie les simplexes affines $[p_0, \dots, p_k] : \Delta_k \to Y$, $t \mapsto \sum_j t_jp_j$, d'une partie convexe $Y$ de $\mathbb R^m$, leurs faces, obtenues en omettant un sommet, et l'égalité $f \circ [p_0, \dots, p_k] = [f(p_0), \dots, f(p_k)]$ pour une application affine $f$ (Subdivision barycentrique, texte).

La partie $\Delta_n \times [0, 1]$ de $\mathbb R^{n+2}$ est convexe, comme produit de deux convexes ; on y pose $v_i = (e_i, 0)$ et $w_i = (e_i, 1)$. Pour $\sigma : \Delta_n \to X$, l'application $\Phi_\sigma = F \circ (\sigma \times \mathrm{id})$ est continue (Topologie produit). L'opérateur prisme associe à $\sigma$ la chaîne $$\begin{aligned} P\sigma = \sum_{i=0}^n (-1)^i\, &\Phi_\sigma \\ &\circ [v_0, \dots, v_i, w_i, \dots, w_n]. \end{aligned}$$

Calculons $\partial P\sigma$. Dans le simplexe d'indice $i$, $[v_0, \dots, v_i, w_i, \dots, w_n]$, le sommet $v_j$, $j \leqslant i$, est en position $j$, et le sommet $w_j$, $j \geqslant i$, en position $j + 1$ ; son bord est la somme alternée des simplexes obtenus en omettant un sommet.

Omettre $v_i$, en position $i$, dans le simplexe d'indice $i$, et omettre $w_{i-1}$, en position $i$, dans le simplexe d'indice $i - 1$, donnent le même simplexe $[v_0, \dots, v_{i-1}, w_i, \dots, w_n]$, avec les signes $(-1)^i(-1)^i = 1$ et $(-1)^{i-1}(-1)^i = -1$ : ces termes se compensent pour $1 \leqslant i \leqslant n$.

Il reste, d'une part, le terme où l'on omet $v_0$ dans le simplexe d'indice $0$, soit $[w_0, \dots, w_n]$, qui donne $g \circ \sigma$, et le terme où l'on omet $w_n$ dans celui d'indice $n$, soit $[v_0, \dots, v_n]$, qui donne $-f \circ \sigma$.

D'autre part, les termes où l'on omet, dans le simplexe d'indice $i$, un sommet $w_j$ avec $j > i$, en position $j + 1$, de signe $(-1)^i(-1)^{j+1}$, ou un sommet $v_j$ avec $j < i$, en position $j$, de signe $(-1)^i(-1)^j$. Montrons qu'ils forment exactement $-P(\partial\sigma)$.

Notons $v'_k, w'_k$ les sommets de $\Delta_{n-1} \times [0, 1]$. On a $\Phi_{\sigma \circ \delta_j} = \Phi_\sigma \circ (\delta_j \times \mathrm{id})$, et l'application $\delta_j \times \mathrm{id}$ est affine ; elle envoie $v'_k, w'_k$ sur $v_k, w_k$ si $k < j$, et sur $v_{k+1}, w_{k+1}$ si $k \geqslant j$. Donc $(\delta_j \times \mathrm{id}) \circ [v'_0, \dots, v'_i, w'_i, \dots, w'_{n-1}]$ vaut, si $i < j$, $$[v_0, \dots, v_i, w_i, \dots, \widehat{w_j}, \dots, w_n],$$ et, si $i \geqslant j$, $$[v_0, \dots, \widehat{v_j}, \dots, v_{i+1}, w_{i+1}, \dots, w_n].$$

Le premier est le simplexe d'indice $i$ privé de $w_j$, le second le simplexe d'indice $i' = i + 1$ privé de $v_j$, avec $j < i'$. Ainsi $$\begin{aligned} -P\partial\sigma &= \sum_{i < j} (-1)^{i+j+1}\,\Phi_\sigma \circ [\dots, \widehat{w_j}, \dots] \\ &\quad + \sum_{j < i'} (-1)^{i'+j}\,\Phi_\sigma \circ [\dots, \widehat{v_j}, \dots], \end{aligned}$$ avec les signes trouvés plus haut : ce sont exactement les termes restants de $\partial P\sigma$.

Ainsi $\partial P + P\partial = g_\# - f_\#$, où $f_\#$ et $g_\#$ sont les morphismes de complexes induits (Homologie singulière, (ii)), et l'on conclut par Complexes de chaînes, (iii).

(ii) Si $g \circ f$ et $f \circ g$ sont homotopes aux identités, $g_* \circ f_*$ et $f_* \circ g_*$ sont les identités par (i).

Si $U$ est étoilé par rapport à $a$, l'application constante $c_a$ et l'identité sont homotopes par $F(x, t) = a + t(x - a)$, continue (Chemins, (ii)) : l'inclusion du point $a$ est une équivalence d'homotopie, et l'on applique Degré 0, point.