Corollaire 1Théorème de Hurewicz

Premier groupe d'homologie de quelques espaces

On reprend les notations des nœuds Groupe fondamental du cercle et Bouquet de deux cercles : ${S^1} = \mathbb R/\mathbb Z$ , de projection $p$ , le point $e = p(0)$ , le tore $T = S^1 \times S^1$ , le bouquet de deux cercles $W \subset T$ , le point $x_0 = (e, e)$ et les lacets $a(s) = (p(s), e)$ et $b(s) = (e, p(s))$ . On note $\omega(s) = p(s)$ , lacet de $S^1$ en $e$ qui fait une fois le tour du cercle.

Énoncé

(i) ${H_1}(S^1) \cong {\mathbb Z}$ , engendré par $[\hat\omega]$ . Pour toute application continue $f : S^1 \to S^1$ telle que $f(e) = e$ , on a $f_*[\hat\omega] = \deg(f \circ \omega)\,[\hat\omega].$

(ii) $H_1(W) \cong {\mathbb Z^2}$ , par un isomorphisme qui envoie $[\hat a]$ et $[\hat b]$ sur $(1, 0)$ et $(0, 1)$ . Le lacet $a \cdot b \cdot \bar a \cdot \bar b$ n'est pas homotope au lacet constant dans $W$ , mais sa classe d'homologie est nulle.

(iii) $H_1(T) \cong \mathbb Z^2$ , par un isomorphisme qui envoie $[\hat a]$ et $[\hat b]$ sur $(1, 0)$ et $(0, 1)$ .

(iv) Pour $n \geqslant 2$ , $H_1({\mathbb RP^n}) \cong {\mathbb Z/2\mathbb Z}$ . Si $y_0 \in S^n$ et si $\gamma$ est un chemin de $S^n$ de $y_0$ à $-y_0$ , l'élément non nul est la classe du cycle $\widehat{q \circ \gamma}$ , où $q : S^n \to \mathbb RP^n$ est la projection (Espaces projectifs).

Démonstration

Connexité par arcs. Le point $p(s)$ est relié à $e$ par le chemin $t \mapsto p(ts)$ ; de même, $(p(s), p(s'))$ est relié à $x_0$ dans $T$ par $t \mapsto (p(ts), p(ts'))$ , continu dans le produit (Topologie produit), et les points $(p(s), e)$ et $(e, p(s))$ de $W$ le sont dans $W$ par $t \mapsto (p(ts), e)$ et $t \mapsto (e, p(ts))$ . La sphère $S^n$ , $n \geqslant 2$ , est connexe par arcs (Sphères Sⁿ, n ⩾ 2), donc aussi son image $\mathbb RP^n$ par l'application continue et surjective $q$ . Le théorème de Hurewicz s'applique aux quatre espaces.

(i) Le degré est un isomorphisme de ${\pi_1}(S^1, e)$ sur $\mathbb Z$ (Groupe fondamental du cercle). Le groupe fondamental est donc commutatif, son groupe dérivé est trivial (Groupe dérivé, (ii)), et $h$ est un isomorphisme.

Le relèvement de $\omega$ issu de $0$ est $s \mapsto s$ , donc $\deg\omega = 1$ . Comme $1$ engendre $\mathbb Z$ (Groupe libre, (i) et (iii)), $[\omega]$ engendre $\pi_1(S^1, e)$ , et $h([\omega]) = [\hat\omega]$ engendre $H_1(S^1)$ .

Si $f(e) = e$ , $f \circ \omega$ est un lacet en $e$ ; soit $m = \deg(f \circ \omega)$ . Le morphisme $\deg$ envoie $[\omega]^m$ sur $m$ (même nœud, (iii)), donc $[f \circ \omega] = [\omega]^m$ , par injectivité. Comme $f \circ \hat\omega = \widehat{f \circ \omega}$ , $f_*[\hat\omega] = h([f \circ \omega]) = h([\omega]^m) = m\,[\hat\omega].$

(ii) Le morphisme $\Theta : F(a, b) \to \pi_1(W, x_0)$ , qui envoie les lettres sur les classes des lacets $a$ et $b$ , est un isomorphisme (Bouquet de deux cercles, (ii)). Il induit un isomorphisme des abélianisés (Groupe dérivé, (i)), et $F(a, b)^{\mathrm{ab}} \cong \mathbb Z^2$ (même nœud, (iv)).

En composant avec l'isomorphisme $\pi_1(W, x_0)^{\mathrm{ab}} \cong H_1(W)$ du théorème de Hurewicz, (iv), on obtient un isomorphisme de $\mathbb Z^2$ sur $H_1(W)$ qui envoie $(1, 0)$ sur $h([a]) = [\hat a]$ et $(0, 1)$ sur $[\hat b]$ .

La classe du lacet $a \cdot b \cdot \bar a \cdot \bar b$ est le commutateur $\big[\,[a], [b]\,\big]$ , image par $\Theta$ du commutateur $\big[\,[a], [b]\,\big]$ de $F(a, b)$ , qui n'est pas trivial (Groupe libre, (iv)) : le lacet n'est pas homotope au lacet constant. Sa classe d'homologie, image d'un commutateur par le morphisme $h$ , est nulle ; on le voit aussi directement, puisque $\hat a + \hat b - \hat a - \hat b = 0$ (Chemins et chaînes, (iv)).

(iii) Le morphisme de $F(a, b)$ dans $\pi_1(T, x_0)$ qui envoie les lettres sur les classes de $a$ et de $b$ induit un isomorphisme de $\langle a, b \mid aba^{-1}b^{-1} \rangle$ sur $\pi_1(T, x_0)$ (Tore), et le premier est isomorphe à $\mathbb Z^2$ , les classes de $a$ et de $b$ allant sur $(1, 0)$ et $(0, 1)$ (Présentations, (iii)). Le groupe $\pi_1(T, x_0)$ est donc commutatif, de groupe dérivé trivial, et $h$ est un isomorphisme qui envoie $[a]$ et $[b]$ sur $[\hat a]$ et $[\hat b]$ .

(iv) Le groupe $\pi_1(\mathbb RP^n, q(y_0))$ a deux éléments, et la classe de $q \circ \gamma$ en est l'élément non trivial (Espaces projectifs, (ii)). Il est commutatif, $h$ est un isomorphisme, et l'élément non nul de $H_1(\mathbb RP^n)$ est $h([q \circ \gamma]) = [\widehat{q \circ \gamma}]$ .

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Remarque

Le point (i) retrouve le calcul $H_1(S^1) \cong \mathbb Z$ du nœud Homologie des sphères, fait par Mayer-Vietoris pour le cercle unité du plan, homéomorphe à $\mathbb R/\mathbb Z$ : le nœud Bouquet de deux cercles, (i), identifie $\mathbb R/\mathbb Z$ à un losange sans trigonométrie, et la projection radiale envoie ce losange sur le cercle unité (ce dernier pas n'est pas rédigé ici) ; la trigonométrie de l'analyse réelle donne aussi un homéomorphisme direct, $t \mapsto (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$ (Paramétrage du cercle, (iv)). Il dit davantage : le générateur est la classe du lacet qui fait une fois le tour, et le degré des lacets se lit en homologie. Le nœud Degré du chapitre d'homologie cellulaire définit le degré d'une application de la sphère dans elle-même par son action sur $H_n$ ; le point (i) en est la version pour le cercle $\mathbb R/\mathbb Z$ : pour une application qui fixe $e$ , ce degré homologique est le degré du lacet $f \circ \omega$ . Le transport au cercle unité du plan n'est pas fait (remarque du nœud Degré).

Remarque

Les points (iii) et (iv) concordent avec les calculs cellulaires du chapitre Homologie cellulaire, menés indépendamment : $H_1(T) \cong \mathbb Z^2$ , de base les cycles $a$ et $b$ (Tore et surfaces), et $H_1(\mathbb RP^n) \cong \mathbb Z/2\mathbb Z$ pour $n \geqslant 2$ (Homologie de ℝPⁿ). Pour $n = 1$ , la projection $q$ n'est pas un revêtement universel, et le même chapitre trouve $H_1(\mathbb RP^1) \cong \mathbb Z$ , comme pour un cercle.

Remarque

Pour la surface de genre $g$ , le chapitre d'homologie cellulaire établit $H_0(\Sigma_g) \cong \mathbb Z$ . Or $H_0(\Sigma_g) \cong \mathbb Z^{(\Pi)}$ , où $\Pi$ est l'ensemble des composantes connexes par arcs (Degré 0, point), et $\Pi$ n'est pas vide. Si $\Pi$ contenait deux éléments distincts $u$ et $v$ , un isomorphisme $\varphi$ de $\mathbb Z^{(\Pi)}$ sur $\mathbb Z$ les enverrait sur des entiers $m$ et $n$ non nuls, et l'élément non nul $nu - mv$ aurait pour image $nm - mn = 0$ , ce que l'injectivité interdit. Donc $\Pi$ a un seul élément, et $\Sigma_g$ est connexe par arcs. Le même chapitre établit $H_1(\Sigma_g) \cong \mathbb Z^{2g}$ (Tore et surfaces). Le théorème de Hurewicz en tire $\pi_1(\Sigma_g)^{\mathrm{ab}} \cong \mathbb Z^{2g}$ : les surfaces de genres distincts ont des groupes fondamentaux non isomorphes, par le point (i) du nœud Groupe dérivé, puisque $\mathbb Z^{2g}$ et $\mathbb Z^{2g'}$ ne sont pas isomorphes pour $g \neq g'$ (Tore et surfaces, preuve de (iii)). La présentation $\pi_1(\Sigma_g) \cong \langle a_1, b_1, \dots, a_g, b_g \mid a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1} \cdots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1} \rangle$ reste admise (Tore, dernière remarque) ; elle est cohérente avec ce calcul, puisque sa relation, produit de commutateurs, devient triviale dans l'abélianisé.

Repose sur

Théorème de Hurewicz en degré 1

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